1992-全国卷理-07 单-对数函数与倒数不等式

本题导读

本题考查对数函数的图象与性质，以及不等式的性质与倒数法则。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 若 ${\log }_{a}2<{\log }_{b}2<0$，则 ()

A. $0<a<b<1$　　　B. $0<b<a<1$　　　C. $a>b>1$　　　D. $b>a>1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定底数的粗略范围：由于真数为 2（大于1），而对数结果 ${\log }_{a}2$ 和 ${\log }_{b}2$ 均小于 0。根据对数函数性质“底数与真数异侧则为负”，可直接判定底数 $a,b$ 必然都分布在区间 $(0,1)$ 内。由此可排除 C、D 选项。
2. 利用换底公式（倒数法）转化：对已知不等式 ${\log }_{a}2<{\log }_{b}2<0$ 进行整体取倒数。利用换底公式可知 $\frac{1}{{\log }_{a}2}={\log }_{2}a$， $\frac{1}{{\log }_{b}2}={\log }_{2}b$。
3. 根据单调性定大小：两个负数比较大小，取倒数后不等号方向改变。化简得到关于底数为 2 的对数不等式，利用 $y={\log }_{2}x$ 在其定义域上的单调递增性判定 $a$ 与 $b$ 的大小。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据对数函数的性质： 因为真数 $2>1$，且 ${\log }_{a}2<0$， ${\log }_{b}2<0$， 根据“底数与真数同侧为正，异侧为负”的规律，可知底数 $a$ 和 $b$ 均小于 1。 结合对数底数大于 0 的基本要求，有： $0<a<1\text{且}0<b<1$

在已知不等式 ${\log }_{a}2<{\log }_{b}2<0$ 中，由于 ${\log }_{a}2$ 和 ${\log }_{b}2$ 均为负数， 对不等式两边同时取倒数，根据不等式的运算性质（两个负数取倒数，不等号方向改变），得： $\frac{1}{{\log }_{a}2}>\frac{1}{{\log }_{b}2}$

利用对数的换底公式 $\frac{1}{{\log }_{x}y}={\log }_{y}x$，将上式转化为： ${\log }_{2}a>{\log }_{2}b$

因为对数函数的底数 $2>1$，所以函数 $y={\log }_{2}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上是单调递增函数。 由对数式的大小关系可以直接导得真数的大小关系： $a>b$

结合前面确定的范围 $0<a<1$ 和 $0<b<1$，综合可得： $0<b<a<1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数的单调性，对数底数与真数对取值正负的影响，不等式取倒数的符号变化法则。
2. 核心方法：
   • 倒数换底法：处理“底不同、真相同”的对数比较问题，最标准的方法是取倒数化为“底相同、真不同”的形式。
   • 特殊值法技巧）：由于是单选题，可令 ${\log }_{a}2=-2$， ${\log }_{b}2=-1$，满足 $-2<-1<0$。 由定义可直接算得： $a^{-2}=2⟹a^2=\frac{1}{2}⟹a=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$。 $b^{-1}=2⟹b=\frac{1}{2}=0.5$。 $0<0.5<0.707<1$，即 $0<b<a<1$，直接锁定 B。
3. 避坑指南：在对负数项 ${\log }_{a}2<{\log }_{b}2$ 取倒数时，极易因粗心大意而忘记调转不等号方向，从而误选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于对数函数性质及大小比较的经典逻辑推理题。取材于高一数学必修中“对数函数的性质”一节的拔高练习题。
2. 结论推广：对于任意满足 $c>1$ 的常数，若有 ${\log }_{a}c<{\log }_{b}c<0$，由于 $c>1$，必有 $0<a<1$ 且 $0<b<1$。取倒数化为 ${\log }_{c}a>{\log }_{c}b$，因为 $c>1$ 单调递增，故恒有 $0<b<a<1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1993-上海-13 单-函数的单调性判定

• 1996-上海文-07 单-对数比较大小

• 2000-大纲文-07 单-对数式的比较大小