1992-全国文-20 填-同角三角函数的求值

本题导读

本题考查同角三角函数的求值，以及象限符号的判定。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 已知 $\alpha$ 在第三象限且 $\tan \alpha =2$，则 $\cos \alpha$ 的值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

${\sec }^2\alpha =1+{\tan }^2\alpha =5$，第三象限 $\cos \alpha <0$，$=-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$。

✅【答案】

Success

$-\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $1+{\tan }^2\alpha ={\sec }^2\alpha$，${\sec }^2\alpha =5$，${\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}$。$\alpha$ 在第三象限，$\cos \alpha <0$，故 $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数的求值

核心方法：$\alpha$ 第三象限，$\tan \alpha =2$，$\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$

避坑指南：第三象限余弦为负

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于同角三角函数

结论推广：$\tan \alpha$ 定 $\sin ,\cos$，注意象限符号

方法推广：平方关系开方定号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷文-18 填-同角三角函数求值
• 1995-全国卷文-09 单-同角平方关系与倍角公式求值
• 1993-上海-21 解-二倍角与和角公式求值