1992-三南-28 解-复数的整数解

本题导读

本题考查复数的整数解问题。核心在于按虚部是否为零分类讨论。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 求同时满足下列两个条件的所有复数 $z$： ①$z+\frac{10}{z}$ 是实数，且 $1<z+\frac{10}{z}\le 6$； ②$z$ 的实部和虚部都是整数.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $z=x+y\mathrm{i}$（$x,y\in \mathbf{Z}$）。虚部为零分两类：$y=0$ 无解；$x^2+y^2=10$ 时 $z+\frac{10}{z}=2x$，由 $1<2x\le 6$ 得 $x=1$ 或 $3$。

✅【答案】

Success

$z=1+3\mathrm{i},1-3\mathrm{i},3+\mathrm{i},3-\mathrm{i}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $z=x+y\mathrm{i}$，其中 $x,y\in \mathbf{Z}$，且 $z\ne 0$。$z+\frac{10}{z}=x+y\mathrm{i}+\frac{10(x-y\mathrm{i})}{x^2+y^2}$，其虚部为 $y\left(1-\frac{10}{x^2+y^2}\right)$。该式为实数，分两类讨论。当 $y=0$ 时，$x\ne 0$，要求 $1<x+\frac{10}{x}\le 6$。若 $x<0$，左端不可能大于 $1$；若 $x>0$，则 $x+\frac{10}{x}\ge 2\sqrt{10}>6$，也不满足。故此时无解。当 $x^2+y^2=10$ 时，由 $x,y\in \mathbf{Z}$ 得 $(x,y)=(\pm 1,\pm 3)$ 或 $(\pm 3,\pm 1)$。此时 $z+\frac{10}{z}=x+y\mathrm{i}+\frac{10(x-y\mathrm{i})}{10}=2x$，条件 $1<2x\le 6$ 要求 $x=1$ 或 $x=3$。故所有复数为 $z=1+3\mathrm{i},1-3\mathrm{i},3+\mathrm{i},3-\mathrm{i}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的整数解

核心方法：$x^2+y^2=10$ 且 $1<2x\le 6$，整数解得 $x=1$ 或 $3$

避坑指南：实虚部整数分类讨论

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数整数解的讨论

结论推广：虚部为零分 $y=0$ 与 $x^2+y^2=10$ 讨论

方法推广：分类讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-25 解-复数方程与模
• 1992-全国文-15 单-复数模的最值
• 1993-上海-03 填-复数的辐角主值