1992-三南-22 填-二项式定理求余数

本题导读

本题考查二项式定理求整除余数，以及 $91=1-10$ 的变形技巧。

📌【题干】

Question

（1992年三南） $91^{92}$ 除以 $100$ 的余数是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$91=1-10$，$91^{92}=(1-10{)}^{92}\equiv 1-92\times 10(\mathrm{mod}100)$（其余项含 $10^2=100$ 因子），$1-920\equiv 81$。

✅【答案】

Success

$81$

✍【详细解析】

Abstract

因 $91=1-10$，由二项式定理 $91^{92}=(1-10{)}^{92}\equiv 1-92\times 10(\mathrm{mod}100)$，其余各项均含因子 $10^2=100$。故 $91^{92}\equiv 1-920\equiv 81(\mathrm{mod}100)$，余数为 $81$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理求余数

核心方法：$91^{92}=(1-10{)}^{92}\equiv 1-920\equiv 81(\mathrm{mod}100)$

避坑指南：二项式定理取余

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式定理求整除余数

结论推广：$91=100-9$ 或 $1-10$ 展开取余

方法推广：二项式展开取模

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-04 单-二项式展开的常数项
• 1994-上海-08 填-二项式展开的指定项系数
• 1993-新高考文-13 单-两个二项式乘积的指定项系数