本题导读
本题考查二项式定理（通项公式），以及等差数列与等差中项。
📌【题干】
Question
（1991年全国卷(理)） 的展开式中， 的系数是 的系数与 的系数的等差中项.若实数 ，那么 .
🔍【思路分析】
破题导航
- 写出通项公式：根据二项式定理，写出 展开式的通项公式 （或者采用 的形式，更便于对应 的次数）。
- 提取对应系数：分别令 的指数为 2, 3, 4，求出 的系数。
- 建立代数方程：利用等差中项的性质（两倍的中项等于两端项之和），列出关于 的方程，结合 限制条件解出结果。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
为了方便对应次数，将二项式写成 ，其展开式的通项公式为：
由通项公式可得：
- 的系数为：
- 的系数为：
- 的系数为：
因为 的系数是 的系数与 的系数的等差中项， 根据等差中项的性质有：
代入对应的系数表达式得：
因为 ，所以 ，方程两边同除以 简化得：
移项整理成一元二次方程的标准形式：
利用求根公式求解：
因为 :
- 若 （不符合题意，舍去）；
- 若 （符合题意）。
所以，实数 的值为 （或 ）。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：二项式展开式指定项系数的提取，等差中项的代数应用。
- 核心方法：方程法。将两个不同章节的知识点通过等量关系交织成方程。
- 避坑指南：
- 提取系数时应注意不要漏掉参数 的对应幂次（如 ）。
- 最后一项因条件 限制，求出一元二次方程的两个根后必须进行范围检验，漏掉舍根步骤将导致失分。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题属于典型的代数跨章节综合题，源于教材中“二项式定理”与“等差数列”后方的综合复习题，旨在考查学生在复杂运算中的细心程度。
- 结论推广：在 展开式中，若连续三项 的系数成等差数列，则可得到关于 的通用递推方程： 。化简后可消除 的低次幂，变为关于 的一元二次方程。
🔗【关联脉络】
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