1991-全国卷理-13 单-奇函数的单调性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 如果奇函数 $f(x)$ 在区间 $[3,7]$ 上是增函数且最小值为 5，那么 $f(x)$ 在区间 $[-7,-3]$ 上是 ()

A. 增函数且最小值为 $-5$　　　　　　　　　　B. 增函数且最大值为 $-5$

C. 减函数且最小值为 $-5$　　　　　　　　　　D. 减函数且最大值为 $-5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 单调性判定：根据奇函数的性质，奇函数在关于原点对称的区间上单调性保持一致（即同增同减）。已知在 $[3,7]$ 上是增函数，则在 $[-7,-3]$ 上同样是增函数。
2. 最值判定：根据奇函数定义 $f(-x)=-f(x)$，自变量取相反数时，函数值也变为相反数。区间 $[3,7]$ 上的最小值在左端点 $x=3$ 处取得，即 $f(3)=5$；则对称区间 $[-7,-3]$ 上的最值与之对应，其右端点 $f(-3)=-f(3)=-5$ 为最大值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

根据奇函数的性质： 若函数 $f(x)$ 是奇函数，且在区间 $[a,b]$ 上是增函数，则在对称区间 $[-b,-a]$ 上也是增函数。 已知 $f(x)$ 在 $[3,7]$ 上是增函数，所以 $f(x)$ 在 $[-7,-3]$ 上也是增函数。

由于 $f(x)$ 在 $[3,7]$ 上是增函数，其最小值在左端点 $x=3$ 处取得： ${\min }_{x\in [3,7]}f(x)=f(3)=5$

又因为 $f(x)$ 是奇函数，满足 $f(-x)=-f(x)$，则有： $f(-3)=-f(3)=-5$

由于 $f(x)$ 在 $[-7,-3]$ 上是增函数，其最大值必然在右端点 $x=-3$ 处取得： ${\max }_{x\in [-7,-3]}f(x)=f(-3)=-5$

综上所述，$f(x)$ 在区间 $[-7,-3]$ 上是增函数且最大值为 $-5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇偶性与单调性的综合应用。
   • 奇函数在对称区间上：单调性相同，最值相反（最大值与最小值互为相反数）。
   • 偶函数在对称区间上：单调性相反，最值相同。
2. 核心方法：定义法与数形结合法。
3. 避坑指南：容易混淆奇偶函数在对称区间上的单调性变化，误认为奇函数关于原点对称，单调性就会相反（从而错选 D）；或者在求最值时，混淆了最大值与最小值的对应位置（从而错选 A）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于函数基本性质的经典考题，直接取材于高一数学必修中“函数的单调性与奇偶性”一章的课后拔高练习题。
2. 结论推广：已知奇函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ ($0<a<b$) 上的最大值为 $M$，最小值为 $m$，则 $f(x)$ 在 $[-b,-a]$ 上的最大值为 $-m$，最小值为 $-M$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-05 单-奇函数与周期的判定
• 1996-全国卷文-15 单-奇函数的周期求值
• 1993-旧高考文-08 单-函数奇偶性的传递判定