1991-全国卷理-04 单-异面直线的计数

本题导读

本题考查异面直线的概念，以及排列组合与计数原理。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中，异面直线共有 ()

A. 12 对　　　　　　　B. 24 对　　　　　　　C. 36 对　　　　　　　D. 48 对

🔍【思路分析】

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1. 先分类再计数：12 条棱所在直线按配对类型分三类——侧棱与侧棱、底边与底边、侧棱与底边。前两类都共面，只有第三类可能是异面。
2. 逐条枚举：固定一条侧棱，找出与它共面的底边（即过底面端点的那两条），其余底边就与它异面。
3. 间接法校验：异面对数 = 总对数 − 相交对数 − 平行对数。注意「棱所在的直线」是整条直线，两条不平行的底边延长后也相交，这类相交不能漏。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解法一（分类直接计数，推荐）

六棱锥有 6 条侧棱和 6 条底边，共 12 条棱所在直线。按配对类型分三类：

1. 两条侧棱：6 条侧棱都过锥顶 $S$，必相交，异面 0 对。
2. 两条底边：6 条底边都在底面内，必共面，异面 0 对。
3. 一条侧棱与一条底边：设侧棱为 $SA$（$A$ 是底面一个顶点）。底边中过 $A$ 的两条与 $SA$ 相交；其余 4 条底边与 $SA$ 既不平行也不相交，故与 $SA$ 异面。每条侧棱对应 4 对。

于是异面直线共有 $6\times 4=24\text{ 对}$

故选 B。

解法二（间接法，用于校验）

任取两条棱所在直线，共 $C_{12}^2=66$ 对。逐类扣除共面的：

1. 侧棱与侧棱：$C_6^2=15$ 对，都相交于 $S$。
2. 底边与底边：$C_6^2=15$ 对。底面是六边形，其中 3 组对边互相平行（3 对）；其余 12 对虽不相交于顶点，但所在直线延长后必相交。故底边之间「相交」12 对、「平行」3 对，没有一对异面。
3. 侧棱与底边：$6\times 6=36$ 对。每个底面顶点处有 1 条侧棱与 2 条底边相交，共 $6\times 2=12$ 对相交，余下 $36-12=24$ 对异面。

汇总：相交 $15+12+12=39$ 对，平行 3 对，于是 $66-39-3=24\text{ 对}$

两种解法结果一致，答案仍为 B。

常见错解：若在解法二中只把底边之间「在顶点处相交」的 6 对计入相交，会得 $66-33-3=30$ 对，与四个选项都不符。错因是漏掉了底边所在直线延长后相交的 6 对——题目说的是「棱所在的直线」，不是棱段。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间中两直线位置关系的判定，结合排列组合进行计数。
2. 核心方法：直接分类法。将直线分为侧棱和底边两类，分别讨论“侧棱-底边”、“侧棱-侧棱”、“底边-底边”之间的异面情况，逻辑更不容易出错。
3. 避坑指南：使用间接法时，容易在底面顶点处的相交棱数上数重或数漏；而直接法由于“两条侧棱必相交”、“两条底边必共面”这两个固有几何特性，使得绝大多数组合直接归零，计算更简。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查空间想象力与组合数学的交叉应用，是早期高考中考查立体几何线线位置关系的经典创新题。
2. 结论推广：对于 $n$ 棱锥，其共有 $2n$ 条棱（$n$ 条侧棱，$n$ 条底边）。其棱所在直线中，异面直线的对数恒为 $n(n-3)$ 对。本题 $n=6$，代入得 $6\times (6-3)=24$ 对。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-20 填-排列组合的分堆与恰一空盒计数
• 1993-上海-04 填-受限排列的计数
• 1992-全国卷理-09 单-四棱锥的线面垂直