1991-全国文-17 填-二倍角公式求值

本题导读

本题考查二倍角公式求值，以及二倍角与平方关系的转化。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） 已知 $\sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则 $\sin 2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\sin 2(x-\frac{\pi }{4})=\sin (2x-\frac{\pi }{2})=-\cos 2x=2{\sin }^{2}x-1$。

✅【答案】

Success

$2-\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

$\sin 2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos 2x=2{\sin }^{2}x-1$。代入 $\sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，得 $2{\sin }^{2}x-1=2\cdot \frac{(\sqrt{5}-1{)}^2}{4}-1=2\cdot \frac{6-2\sqrt{5}}{4}-1=3-\sqrt{5}-1=2-\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角公式求值

核心方法：$\sin 2(x-\frac{\pi }{4})=-\cos 2x=2{\sin }^{2}x-1=2-\sqrt{5}$

避坑指南：二倍角与平方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二倍角公式求值

结论推广：$\sin 2x=2\sin x\cos x$、$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$

方法推广：二倍角转化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1996-上海文-19 解-二倍角公式求值
• 1998-上海文-17 解-二倍角与诱导公式求值
• 1992-全国文-24 解-三角恒等变形求值