1990-全国卷理-23 解-二面角的度数

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质、三垂线定理及其逆定理。核心在于几何法（定义法/三垂线法）、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 如图，在三棱锥 $S-ABC$ 中，$SA\perp$ 底面 $ABC$，$AB\perp BC$.$DE$ 垂直平分 $SC$，且分别交 $AC$、$SC$ 于 $D$、$E$.又 $SA=AB$，$SB=BC$.求以 $BD$ 为棱，以 $BDE$ 与 $BDC$ 为面的二面角的度数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定二面角的棱与面：目标二面角为 $E-BD-C$．棱为 $BD$，两个半平面分别为 $△BDE$ 和 $△BDC$。
2. 寻找垂直关系（找平面角）：
   • 证明 $BC\perp$ 平面 $SAB⟹BC\perp SB$。
   • 利用线面垂直及线线垂直的转换，证明 $BD\perp$ 平面 $SAC$。
   • 一旦证明 $BD\perp$ 平面 $SAC$，则 $BD$ 必垂直于平面内的两条相交直线 $DE$ 和 $DC$，从而 $\angle EDC$ 即为二面角 $E-BD-C$ 的平面角。
3. 计算平面角大小：在直角 $△DEC$ 中，求出相关边长或利用直角关系，确定 $\angle EDC$ 的度数。

✅【答案】

Success

$60^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $SA\perp$ 底面 $ABC$，且 $BC\subset$ 底面 $ABC$， 所以 $SA\perp BC$． 又已知 $AB\perp BC$，且 $SA\cap AB=A$， 所以 $BC\perp$ 平面 $SAB$． 因为 $SB\subset$ 平面 $SAB$，所以 $BC\perp SB$，即 $△SBC$ 是以 $B$ 为直角顶点的直角三角形。

在 $△SAB$ 中，因为 $SA\perp AB$ 且 $SA=AB$， 设 $SA=AB=a$，则由勾股定理得： $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$ 已知 $SB=BC$，所以 $BC=\sqrt{2}a$．

在直角 $△SBC$ 中，由勾股定理得： $SC=\sqrt{S{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{(\sqrt{2}a{)}^2+(\sqrt{2}a{)}^2}=\sqrt{2a^2+2a^2}=2a$ 因为 $DE$ 垂直平分 $SC$，所以 $E$ 是 $SC$ 的中点，且： $SE=EC=a$

在直角 $△ABC$ 中，由勾股定理得： $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+(\sqrt{2}a{)}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=\sqrt{3}a$ 在直角 $△SAC$ 中， $SA=a,SC=2a$，由于 $\sin \angle SCA=\frac{SA}{SC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$， 所以 $\angle SCA=30^{\circ }$．

在 $△SBC$ 中，因为 $E$ 是 $SC$ 的中点，且 $△SBC$ 是等腰直角三角形 ($SB=BC$)， 所以 $BE\perp SC$，且 $BE=\frac{1}{2}SC=a$． 又已知 $DE\perp SC$，且 $BE\cap DE=E$， 所以 $SC\perp$ 平面 $BDE$． 因为 $BD\subset$ 平面 $BDE$，所以 $SC\perp BD$．

因为 $SA\perp$ 底面 $ABC$，所以 $SA\perp BD$． 又 $SC\cap SA=S$，所以 $BD\perp$ 平面 $SAC$．

因为 $DE\subset$ 平面 $SAC$，$DC\subset$ 平面 $SAC$， 所以 $BD\perp DE$ 且 $BD\perp DC$． 因此，$\angle EDC$ 就是以 $BD$ 为棱的二面角 $E-BD-C$ 的平面角。

在直角 $△DEC$ 中， $\angle DEC=90^{\circ }$，$EC=a$， $\angle ECD=\angle SCA=30^{\circ }$， 所以： $\angle EDC=90^{\circ }-\angle ECD=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$

综上所述，以 $BDE$ 与 $BDC$ 为面的二面角的度数为 $60^{\circ }$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的判定与性质，二面角的平面角的定义及其几何作法。
2. 核心方法：线面垂直法（定义法）。本题中通过证明棱 $BD\perp$ 平面 $SAC$，直接使平面内的两条交线 $DE,DC$ 转化为棱的垂线，从而免去了常规作二面角平面角时需要向棱作垂线的繁琐步骤。
3. 避坑指南：
   • 无法精准锁定平面角：很多考生容易通过 $E$ 向 $BD$ 作垂线，导致辅助线过滥、无法在复杂的三角形中完成量化。一定要优先观察和挖掘已知条件中的垂直关系（如垂直平分线 $DE\perp SC$），并结合特殊面（如 $△SBC$ 的等腰直角性质）实现突破。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是立体几何中考查面面关系的经典大题，源自教材中“直线与平面垂直”及“二面角”章节的典型综合题。通过特殊的边长比例设计，使立体空间中的各个平面完美交织。
2. 结论推广：本题所依托的几何体中具有一个极强的隐含性质：当三棱锥满足 $SA\perp$ 底面 $ABC$ 且 $AB\perp BC$，若进一步满足 $SA=AB$ 且 $SB=BC$，则其四个面均是有特殊边长比例的直角三角形（$△SAB,△ABC,△SBC,△SAC$ 均为直角三角形）。这一构型在现代高考的空间向量考查中，因容易建立以 $B$ 或 $A$ 为原点的空间直角坐标系，常常作为命题的经典模板进行改动和延续。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1991-上海-24 解-线面角与二面角的求法
• 1992-三南-23 填-三棱锥的体积与二面角
• 1992-上海-24 解-圆锥的体积与二面角