1990-全国卷理-17 填-二项式展开的系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项式展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） $(x-1)-(x-1{)}^2+(x-1{)}^3-(x-1{)}^4+(x-1{)}^5$ 的展开式中，$x^2$ 的系数等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定有效项：观察多项式的每一项 $(x-1{)}^n$．只有当 $n\ge 2$ 时，展开式中才会出现含有 $x^2$ 的项。因此，第一项 $(x-1)$ 无需考虑。
2. 应用通项公式：对于形如 $(x-1{)}^n$ 的二项式，其展开式的通项公式为 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{x}^{n-r}(-1{)}^r$．若要求 $x^2$ 的系数，令 $n-r=2⟹r=n-2$．
3. 分项提取并求和：分别求出 $n=2,3,4,5$ 时 $x^2$ 的系数，并结合各项前面的正负号进行加减合并。

✅【答案】

Success

$-20$

✍【详细解析】

Abstract

原多项式中，第一项 $(x-1)$ 只含一次项，$-(x-1{)}^2$、$+(x-1{)}^3$、$-(x-1{)}^4$、$+(x-1{)}^5$ 四项都有 $x^2$ 项。 由 $(x-1{)}^n$ 的展开式，含 $x^2$ 的项为 ${\mathrm{C}}_n^2{x}^2(-1{)}^{n-2}$，系数是 ${\mathrm{C}}_n^2(-1{)}^n$。 于是 $n=2,3,4,5$ 时系数依次为 $1,-3,6,-10$；再带上原式中各项的符号 $+,-,+,-$，贡献依次是 $-1,-3,-6,-10$。 相加得 $x^2$ 的系数为 $-1-3-6-10=-20$。

故填 $-20$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式定理展开式的通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{x}^{n-r}(-1{)}^r$，以及多项式各项系数求和。
• 核心方法：逐项分析，对每个 $(x-1{)}^n$ 令 $n-r=2$ 求出对应 $r$，再代入通项求系数并求和。
• 避坑指南：注意符号交替，$(-1{)}^r$ 不可漏；$(x-1)$ 一次项不含 $x^2$，须排除，避免多算。
• 避坑指南：系数是各展开项 $x^2$ 系数之代数和，注意正负号相加，勿把系数与二项式系数混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于二项式定理的通项应用，考查 $(x-1{)}^n$ 展开式中特定项系数的求法，是教材例题“求展开式中指定项”的直接变式，背景为多项式系数求和的基本技能。

结论推广：一般地，$(x+a{)}^n$ 展开式中 $x^k$ 项系数为 ${\mathrm{C}}_n^{n-k}{a}^{n-k}$（$0\le k\le n$）。本题中各项符号交替，可统一视为 ${\sum }_{n=1}^5(-1{)}^{n-1}(x-1{)}^n$，故 $x^2$ 系数为 ${\sum }_{n=2}^5(-1{)}^{n-1}{\mathrm{C}}_n^{n-2}(-1{)}^{n-2}$，即 ${\sum }_{n=2}^5(-1{)}^{2n-3}{\mathrm{C}}_n^2=-{\sum }_{n=2}^5{\mathrm{C}}_n^2=-20$。

方法推广：求多个二项式展开式中同一项系数之和，可逐项用通项公式定位后相加；若项数较多或呈等比结构，可先整体求和再提取系数，体现“先合并、后展开”的化归思想。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1991-上海-08 填-二项式展开的常数项
• 1992-上海-02 填-二项式展开指定项系数
• 1991-三南-16 单-二项式展开的常数项