1990-全国卷理-10 单-直线与圆的最值

本题导读

本题考查圆的方程与几何性质，以及直线的斜率公式。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 如果实数 $x,y$ 满足等式 $(x-2{)}^2+y^2=3$，那么 $\frac{y}{x}$ 的最大值是 ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 挖掘几何意义：已知代数式满足的等式 $(x-2{)}^2+y^2=3$ 是一个以 $(2,0)$ 为圆心，$\sqrt{3}$ 为半径的圆。而目标代数式 $k=\frac{y}{x}=\frac{y-0}{x-0}$ 可以看作是圆上的点 $(x,y)$ 与原点 $(0,0)$ 连线的斜率。
2. 寻找边界条件：要使斜率 $k$ 取得最大值，过原点的直线 $y=kx$ 必须与该圆相交或相切。当直线与圆相切且斜率为正时，斜率达到最大。
3. 建立方程求解：利用圆心到直线的距离等于半径这一几何条件（点到直线距离公式），列出关于 $k$ 的方程，求出正根。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：设 $k=\frac{y}{x}$，则 $y=kx$，即 $kx-y=0$． 由题意，点 $(x,y)$ 在圆 $(x-2{)}^2+y^2=3$ 上，圆心为 $C(2,0)$，半径 $R=\sqrt{3}$．

当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离 $d$ 必须小于或等于半径 $R$： $d=\frac{|k\cdot 2-0|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}\le \sqrt{3}$

化简不等式： $\frac{2|k|}{\sqrt{k^2+1}}\le \sqrt{3}$

两边平方得： $4k^2\le 3(k^2+1)$ $4k^2\le 3k^2+3$ $k^2\le 3$

解得： $-\sqrt{3}\le k\le \sqrt{3}$

因此，$\frac{y}{x}$ 的最大值为 $\sqrt{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的解析几何性质，点到直线的距离公式，解析几何中常见代数式的几何意义。
2. 核心方法：
   • 数形结合法（斜率法）：将分式 $\frac{y}{x}$ 视作动直线斜率，利用切线位置确定最值，比纯代数计算更直观、高效。
   • 三角换元法：设 $x=2+\sqrt{3}\cos \theta ,y=\sqrt{3}\sin \theta$，代入分式后利用辅助角公式亦可解出，但过程相对繁琐。
3. 避坑指南：
   • 使用点到直线距离公式时，注意将直线方程化为一般式 $kx-y=0$，避免分子、分母项代错。
   • 注意切线有两条（一条斜率为 $\sqrt{3}$，另一条为 $-\sqrt{3}$），题目要求的是“最大值”，故取正值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于“规划与最值”类的经典解析几何题，源自教材中对直线与圆位置关系综合应用的训练。通过斜率转换，将非线性规划问题转化为几何图形的临界状态问题。
2. 结论推广：对于点 $(x,y)$ 在圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ 上（原点在圆外，即 $a^2+b^2>R^2$），代数式 $\frac{y}{x}$ 的最值满足方程： ${\left(\frac{y}{x}\right)}_{\text{max, min}}=\frac{ab\pm R\sqrt{a^2+b^2-R^2}}{a^2-R^2}$ 本题中将 $a=2,b=0,R=\sqrt{3}$ 代入，可直接算得最大值为 $\frac{0+\sqrt{3}\sqrt{4+0-3}}{4-3}=\sqrt{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-14 单-圆上的点到直线距离
• 1991-全国文-15 单-圆上点到直线的距离
• 1992-三南-05 单-点到直线的距离