1990-上海卷-17 单-正切函数的最小正周期

本题导读

本题考查正切函数的图象与性质，以及三角函数的最小正周期公式。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 函数 $f(x)=a\tan \frac{x}{a}$ 的最小正周期是 ()

A. $\pi a$　　　　　　　　B. $\pi |a|$　　　　　　　　C. $\frac{\pi }{a}$　　　　　　　　D. $\frac{\pi }{|a|}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本正切函数 $y=\tan x$ 的最小正周期为 $\pi$。
2. 对 $y=A\tan (\omega x+\phi )$（$\omega \ne 0$），最小正周期为 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$，振幅 $a$ 不影响周期。
3. 本题 $f(x)=a\tan \left(\frac{1}{a}x\right)$，$\omega =\frac{1}{a}$，代入公式并注意 $a$ 的符号。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=a\tan \frac{x}{a}=a\tan \left(\frac{1}{a}x\right)$

自变量 $x$ 的系数为： $\omega =\frac{1}{a}$

因为 $a$ 只作为分母，需 $a\ne 0$，但正负不确定，而周期必须为正数，所以公式中要加绝对值： $T=\frac{\pi }{|\omega |}=\frac{\pi }{|\frac{1}{a}|}=\frac{\pi }{\frac{1}{|a|}}=\pi |a|$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正切函数的周期公式 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$。
2. 核心方法：提取系数法。把 $x$ 的系数 $\omega$ 提取出来，正切函数用 $\frac{\pi }{|\omega |}$，正弦、余弦用 $\frac{2\pi }{|\omega |}$。
3. 避坑指南：
   • 忽视周期为正而误选 A：若直接得 $\frac{\pi }{1/a}=\pi a$，当 $a<0$ 时 $\pi a$ 是负数，不能作为周期。
   • 与正弦、余弦混淆误选 D：正切函数的周期公式分子是 $\pi$，不是 $2\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为“正切函数的图象与性质”中周期公式应用的基础题。
2. 结论推广：若 $f(x)$ 的最小正周期为 $T_0$，则 $g(x)=A\cdot f(\omega x+\phi )$ 的最小正周期为 $T=\frac{T_0}{|\omega |}$。本题 $T_0=\pi$，$\omega =\frac{1}{a}$，得 $T=\frac{\pi }{|1/a|}=\pi |a|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-三南-06 单-正弦型函数的最小正周期
• 1991-上海-04 填-正弦函数的最小正周期
• 1992-全国卷理-02 单-正弦型函数的最小正周期