1990-上海卷-08 填-二项式展开的系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项式展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 已知 $(x+a{)}^7$ 的展开式中，$x^4$ 的系数是 $-280$，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：对于二项式 $(x+a{)}^7$，写出其展开式的标准通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_7^r{x}^{7-r}{a}^r$。
2. 锁定特定项幂次：题目已知条件针对的是 $x^4$ 的项，令通项公式中 $x$ 的指数 $7-r=4$，从而解出对应的 $r$ 值。
3. 建立并求解方程：把解出的 $r$ 值代回通项公式中，提取出关于未知数 $a$ 的代数系数式，令其等于 $-280$，解出实数 $a$。

✅【答案】

Success

$-2$

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理，二项式 $(x+a{)}^7$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_7^r{x}^{7-r}{a}^r$

要求展开式中含 $x^4$ 的项，令 $x$ 的指数为 4： $7-r=4⟹r=3$

将 $r=3$ 代入通项公式中，得到对应的项为： $T_4={\text{C}}_7^3{x}^4{a}^3$

计算组合数 ${\text{C}}_7^3$： ${\text{C}}_7^3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$ 因此，该项为 $35a^3{x}^4$，即 $x^4$ 的系数为 $35a^3$。

根据题意，该系数等于 $-280$，建立方程： $35a^3=-280$

两边同除以 35，化简得： $a^3=\frac{-280}{35}=-8$

因为 $a$ 为实数，对 $-8$ 开立方根，解得： $a=-2$

填空答案为：$-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的精准应用，组合数的计算及一元高次方程的实数根求解。
2. 核心方法：特征指数对齐法。通过让通项中变元的未知指数与目标项特征指数对齐列方程，锁定步数 $r$。
3. 避坑指南：
   • 混淆通项中的项数与 $r$ 的对应关系：通项公式中第 $r+1$ 项对应的是 $a$ 的 $r$ 次方。本题中锁定的是 $r=3$，对应第 4 项，系数中包含的是 $a^3$ 而不是 $a^4$。
   • 计算粗心导致符号丢漏：注意方程结果为 $a^3=-8$，奇数次幂开方保留负号，最终答案为 $-2$。若漏掉负号会算出错误答案 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于二项式定理章节中最为经典的常规基础题，直接源自教材中“二项式通项的应用”课后典型例题，用以测试学生对公式项、系数及指数映射关系的掌握。
2. 结论推广：对于任意二项式 $(x+a{)}^n$，其展开式中 $x^m$ ($0\le m\le n$) 的系数恒为 ${\text{C}}_n^{n-m}{a}^{n-m}$。若已知该系数为 $K$，则求参数 $a$ 的通项关系式为： $a=\sqrt[n-m]{\frac{K}{{\text{C}}_n^{n-m}}}$ 当 $n-m$ 为偶数时需注意实数域下 $K$ 的正负及双解讨论；本题中 $n-m=7-4=3$ 为奇数，故实数解唯一。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1991-上海-08 填-二项式展开的常数项
• 1992-上海-02 填-二项式展开指定项系数
• 1991-三南-16 单-二项式展开的常数项