1990-上海卷-02 填-反函数的求解

本题导读

本题考查反函数的核心定义与求法，以及反三角函数（反正弦函数）的性质。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 函数 $y=\arcsin x$ ， ($x\in [-1,1]$) 的反函数是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用互逆定义改写：根据反正弦函数的定义，若 $y=\arcsin x$，则可以直接将 $x$ 用含 $y$ 的三角式表达出来，即 $x=\sin y$．
2. 确定新自变量的范围：原函数的定义域是 $x\in [-1,1]$，其对应的值域为 $y\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$．根据反函数的性质，原函数的值域即为反函数的定义域。
3. 规范字母书写：将 $x=\sin y$ 中的自变量与因变量字母对调，写成标准的 $y=f(x)$ 形式，并严格注明自变量的取值范围。

✅【答案】

Success

$y=\sin x$，$x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

已知原函数为： $y=\arcsin x,x\in [-1,1]$

根据反正弦函数的主值区间性质，当 $x\in [-1,1]$ 时，其值域（即角度 $y$ 的取值范围）为： $y\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$

由 $y=\arcsin x$ 的定义，可直接反解出 $x$： $x=\sin y$

将自变量 $x$ 与因变量 $y$ 的位置进行习惯性对调，得到反函数的解析式为： $y=\sin x$

此时，原函数的值域转化为反函数的定义域，即新自变量 $x$ 的限制范围为 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$．

综上所述，该函数的反函数是 $y=\sin x$ ， $\left(x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]\right)$．

填空答案为：$y=\sin x$ ， $\left(x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]\right)$ （或简写为 $y=\sin x,-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反三角函数的符号定义，反函数求解中定义域与值域的等价对调。
2. 核心方法：定义对调法。解反函数时牢记“反解 $x$，对调 $x,y$，值域变定义域”的三步走战略。
3. 避坑指南：
   • 严重漏写自变量范围：很多考生直接写出 $y=\sin x$ 后便停止作答。必须明确，如果不加范围限制，$y=\sin x$ （$x\in \mathbf{R}$）在全实数域上不是单射函数，是不存在反函数的。只有严格加上定义域限制 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，它才能与原函数 $y=\arcsin x$ 构成一一对应。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于反函数及反三角函数概念的基础考核题，直接源自教材中“反正弦函数”定义的引入章节，旨在要求学生深刻理解数学中“反函数”的严格存在条件。
2. 结论推广：对于基本反三角函数，它们与对应的单调区间三角函数存在如下普适的单叶分支对应律：
   • $y=\arcsin x$ （$x\in [-1,1]$） $⟹$ 反函数为 $y=\sin x$ ， $\left(x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]\right)$
   • $y=\arccos x$ （$x\in [-1,1]$） $⟹$ 反函数为 $y=\cos x$ ， $\left(x\in [0,\pi ]\right)$
   • $y=\arctan x$ （$x\in \mathbf{R}$） $⟹$ 反函数为 $y=\tan x$ ， $\left(x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\right)$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1991-上海-01 填-指数函数的反函数
• 1992-上海-08 填-反函数与定义域
• 1992-全国卷理-16 单-反函数与奇偶性