1989-广东理-34 解-圆的轨迹与等比数列

本题导读

本题考查圆的圆心轨迹与半径成等比数列的条件。核心在于求轨迹方程并分类讨论。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(理)） 设圆 $C$ 的方程为 $x^2+y^2-2x\left(\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }\right)-2y\tan \frac{\theta }{2}+{\left(\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }\right)}^2=0$，式中 $\theta$ 是实数，且 $0<\theta <\pi$.

(1)当 $\theta$ 在区间 $(0,\pi )$ 内变动时，求圆 $C$ 的圆心轨迹的方程（写成普通形式），并画出轨迹曲线的草图；

(2)又设 ${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$ 都是区间 $(0,\pi )$ 内的实数，且 ${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$ 成为公差不为零的等差数列，当 $\theta$ 依次取值 ${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$ 时，所对应的圆 $C$ 的半径依次为 $r_1,r_2,r_3$，试问：$r_1,r_2,r_3$ 是否成等比数列？为什么？

🔍【思路分析】

破题导航

（1）化圆方程为标准式求圆心；（2）$r=\tan \frac{\theta }{2}$，结合等差数列讨论等比性。

✅【答案】

Success

(1)$y^2=x$（$y>0$）；(2)当 ${\theta }_2=\frac{\pi }{2}$ 时成等比，否则不成

✍【详细解析】

Abstract

（1）圆 $C$ 方程配方得 ${\left(x-\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }\right)}^2+{\left(y-\tan \frac{\theta }{2}\right)}^2={\tan }^2\frac{\theta }{2}$。圆心 $\left(\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta },\tan \frac{\theta }{2}\right)$。又 $\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }=\frac{2{\sin }^2\frac{\theta }{2}}{2{\cos }^2\frac{\theta }{2}}={\tan }^2\frac{\theta }{2}$，故圆心轨迹为 $y^2=x$（$y>0$），即第一象限的半支抛物线（不含原点）。 （2）圆半径 $r=\tan \frac{\theta }{2}$（$0<\theta <\pi$），故 $r_1=\tan \frac{{\theta }_1}{2}$，$r_2=\tan \frac{{\theta }_2}{2}$，$r_3=\tan \frac{{\theta }_3}{2}$。由 ${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$ 成公差不为零的等差数列，$\frac{{\theta }_1}{2}+\frac{{\theta }_3}{2}={\theta }_2$。 当 ${\theta }_2=\frac{\pi }{2}$ 时，$r_2=\tan \frac{\pi }{4}=1$，且 $\frac{{\theta }_1}{2}+\frac{{\theta }_3}{2}=\frac{\pi }{2}$，得 $\tan \frac{{\theta }_1}{2}\tan \frac{{\theta }_3}{2}=1$，故 $r_1{r}_3=1=r_2^2$，成等比数列。 当 ${\theta }_2\ne \frac{\pi }{2}$ 时，由正切和角公式 $\frac{r_1+r_3}{1-r_1{r}_3}=\frac{2r_2}{1-r_2^2}$。若成等比则 $r_1{r}_3=r_2^2$，代入得 $r_1+r_3=2r_2$，与 $r_1{r}_3=r_2^2$ 联立得 $(r_1-r_3{)}^2=0$，$r_1=r_3=r_2$，进而 ${\theta }_1={\theta }_2={\theta }_3$，与公差不为零矛盾。故此时不成等比数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的轨迹与等比数列

核心方法：化圆方程为标准式求圆心，半径 $r=\tan \frac{\theta }{2}$。

避坑指南：等差数列与等比数列的综合判断。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：轨迹与数列。

结论推广：圆心轨迹与等比数列。

方法推广：综合判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-13 单-动点轨迹方程
• 1990-广东理-07 单-动点轨迹方程
• 1991-上海-25 解-复数的辐角与轨迹