1989-广东理-20 单-余弦值的大小比较

本题导读

本题考查余弦函数单调性与分式大小比较的综合。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(理)） 如果 $0<m<b<a$，那么()

A. $\cos \frac{b+m}{a+m}<\cos \frac{b}{a}<\cos \frac{b-m}{a-m}$　　　　　　　　　　　　B. $\cos \frac{b}{a}<\cos \frac{b-m}{a-m}<\cos \frac{b+m}{a+m}$ C. $\cos \frac{b-m}{a-m}<\cos \frac{b}{a}<\cos \frac{b+m}{a+m}$　　　　　　　　　　　　D. $\cos \frac{b+m}{a+m}<\cos \frac{b-m}{a-m}<\cos \frac{b}{a}$

🔍【思路分析】

破题导航

先判断三个分式的大小顺序，再用余弦在 $(0,\pi )$ 递减比较。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $0<m<b<a$，三个分式 $\frac{b+m}{a+m}$、$\frac{b}{a}$、$\frac{b-m}{a-m}$ 均在 $(0,1)$ 内。因 $\frac{b+m}{a+m}>\frac{b}{a}>\frac{b-m}{a-m}$（正数分式的性质），且余弦函数在 $(0,1)$ 上递减，故 $\cos \frac{b+m}{a+m}<\cos \frac{b}{a}<\cos \frac{b-m}{a-m}$。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦值的大小比较

核心方法：由 $0<m<b<a$ 判断三个分式的大小顺序。

避坑指南：$\frac{b+m}{a+m}>\frac{b}{a}>\frac{b-m}{a-m}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：余弦单调性比较。

结论推广：$(0,\pi )$ 内 $\cos$ 递减。

方法推广：分式大小比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-01 单-由余弦值求角
• 1993-上海-02 填-余弦型函数的最小正周期
• 1995-全国卷文-07 单-正弦与余弦的大小比较区间