1989-广东文-34 解-圆的轨迹与公共弦

本题导读

本题考查圆的圆心轨迹与公共弦的最大值。核心在于消参求轨迹、用公共弦长公式。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(文)） 设圆 $O$ 的方程为 $x^2-2x\cos \theta +y^2+2(1+2\sin \theta )y=0$，其中 $0\le \theta <2\pi$.

(1)当 $\theta$ 变化时，求圆 $O$ 的圆心轨迹的普通方程，并画出轨迹的草图；

(2)如果又有圆 $S$：$x^2+y^2+2y=0$，求 $\theta$ 的值，使得圆 $O$ 与圆 $S$ 的公共弦的长度取最大值（请把满足条件的 $\theta$ 的值都求出来）.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）圆心 $C(\cos \theta ,-1-2\sin \theta )$ 消参；（2）公共弦直线与弦长。

✅【答案】

Success

(1)$4x^2+(y+1{)}^2=4$（椭圆）；(2)$\theta =0$ 或 $\pi$

✍【详细解析】

Abstract

（1）圆 $O$ 配方得圆心 $C(\cos \theta ,-1-2\sin \theta )$。设 $x=\cos \theta$，$y=-1-2\sin \theta$，则 $x^2+\frac{(y+1{)}^2}{4}=1$，即 $4x^2+(y+1{)}^2=4$。圆心轨迹是中心 $(0,-1)$、半轴长 $1$ 和 $2$ 的椭圆。 （2）两圆方程相减得公共弦所在直线 $x\cos \theta -2y\sin \theta =0$。圆 $S$ 圆心 $S_0(0,-1)$，半径 $1$，到直线距离 $p=\frac{2|\sin \theta |}{\sqrt{{\cos }^2\theta +4{\sin }^2\theta }}=\frac{2|\sin \theta |}{\sqrt{1+3{\sin }^2\theta }}$。公共弦长 $L=2\sqrt{1-p^2}=\frac{2|\cos \theta |}{\sqrt{1+3{\sin }^2\theta }}$。当 $\sin \theta =0$ 时 $L$ 最大为 $2$，由 $0\le \theta <2\pi$ 得 $\theta =0$ 或 $\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的轨迹与公共弦

核心方法：圆心轨迹与公共弦最大值。

避坑指南：消参求轨迹，公共弦长公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：轨迹与公共弦。

结论推广：消参。

方法推广：公共弦长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-13 单-动点轨迹方程
• 1990-广东理-07 单-动点轨迹方程
• 1991-上海-25 解-复数的辐角与轨迹