1989-广东文-33 解-复数的运算与不等式

本题导读

本题考查复数的运算、三角形式与对数不等式。核心在于求 $|az-i|$。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(文)） 已知复数 $z=1-2i$，其中 $i$ 是虚数单位.

(1)求 $\frac{2}{z+i}-(z+1)$ 的值，并把该值表示成三角形式；

(2)求适合不等式 ${\log }_{0.5}\left|\frac{az-i}{\sqrt{a+1}}\right|\le \frac{1}{2}$ 的实数 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）直接代入计算；（2）求 $|az-i|$，解对数不等式。

✅【答案】

Success

(1)$-1-i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}\right)$；(2)$(-1,-\frac{1}{2}]\cup [-\frac{1}{5},+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$z=1-2i$，$\frac{2}{z+i}-(z+1)=\frac{2}{1-i}-(2-2i)=\frac{2(1+i)}{2}-(2-2i)=(1+i)-(2-2i)=-1-i$。三角形式：$-1-i=\sqrt{2}(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4})$。 （2）$z=1-2i$，$|az-i|=|a(1-2i)-i|=|a-(2a+1)i|=\sqrt{a^2+(2a+1{)}^2}=\sqrt{5a^2+4a+1}$。由不等式 ${\log }_{0.5}\left|\frac{az-i}{\sqrt{a+1}}\right|\le \frac{1}{2}$，因 $0<0.5<1$ 对数递减，且需 $a+1>0$：$\left|\frac{az-i}{\sqrt{a+1}}\right|\ge (0.5{)}^{1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。两边平方 $\frac{5a^2+4a+1}{a+1}\ge \frac{1}{2}$，即 $2(5a^2+4a+1)\ge a+1$，$10a^2+7a+1\ge 0$，$(2a+1)(5a+1)\ge 0$，得 $a\le -\frac{1}{2}$ 或 $a\ge -\frac{1}{5}$。结合 $a+1>0$ 得 $a\in (-1,-\frac{1}{2}]\cup [-\frac{1}{5},+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的运算与不等式

核心方法：复数运算与对数不等式。

避坑指南：$|az-i|$ 的计算与三角形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数运算。

结论推广：三角形式。

方法推广：模的计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-06 单-复数模的取值范围
• 1990-全国文-25 解-复数方程的求解
• 1990-广东文-30 填-复数模的运算