1989-广东文-17 单-正三棱锥的全面积

本题导读

本题考查侧面为直角三角形的正三棱锥的全面积。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(文)） 侧面都是直角三角形的正三棱锥，当底面边长为 $a$ 时，该三棱锥的全面积是()

A. $\frac{3+\sqrt{3}}{4}{a}^2$　　　　　　B. $\frac{3}{4}{a}^2$　　　　　　C. $\frac{3+3\sqrt{3}}{2}{a}^2$　　　　　　D. $\frac{6+\sqrt{3}}{4}{a}^2$

🔍【思路分析】

破题导航

底面积 + 三个直角三角形侧面面积。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

底面等边三角形面积 $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$。侧面为直角三角形，斜边为底面边 $a$，两腰（侧棱）相等为 $b$，$2b^2=a^2$，$b=\frac{a}{\sqrt{2}}$，每侧面面积 $\frac{1}{2}{b}^2=\frac{a^2}{4}$，三侧面 $\frac{3a^2}{4}$。全面积 $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2+\frac{3a^2}{4}=\frac{3+\sqrt{3}}{4}{a}^2$。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱锥的全面积

核心方法：侧面为直角三角形的正三棱锥全面积。

避坑指南：全面积=底+三侧面。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正三棱锥全面积。

结论推广：底+侧。

方法推广：直角三角形侧面。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-29 填-三棱锥的高
• 1992-三南-23 填-三棱锥的体积与二面角
• 1991-三南-03 单-正六棱锥的体积