1989-广东文-05 单-对数方程的解集

本题导读

本题考查对数方程的求解，注意定义域。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(文)） 对数方程 $2{\log }_{x}8-3{\log }_{8}x=1$ 的解集是()

A. $\left\{4,\frac{1}{8}\right\}$　　　　　　　B. $\left\{2,\frac{\sqrt{2}}{4}\right\}$　　　　　　　C. $\left\{4,\frac{1}{4}\right\}$　　　　　　　D. $\left\{2,\frac{1}{8}\right\}$

🔍【思路分析】

破题导航

${\log }_{x}8=\frac{3}{{\log }_{2}x}$，${\log }_{8}x=\frac{{\log }_{2}x}{3}$，换元求解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设 $t={\log }_{2}x$，则 ${\log }_{x}8=\frac{3}{t}$，${\log }_{8}x=\frac{t}{3}$。方程化为 $\frac{6}{t}-t=1$，即 $t^2+t-6=0$，解得 $t=2$ 或 $t=-3$。故 $x=4$ 或 $x=\frac{1}{8}$。解集 $\left\{4,\frac{1}{8}\right\}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程的解集

核心方法：$2{\log }_{x}8-3{\log }_{8}x=1$，换底或直接解。

避坑指南：注意对数的定义域 $x>0$ 且 $x\ne 1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数方程。

结论推广：换底求解。

方法推广：注意定义域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-01 单-对数方程的求解
• 1992-上海-04 填-对数方程的求解
• 1995-全国卷文-16 填-对数方程的求解