1989-全国卷理-20 解-平行六面体的射影与体积

本题导读

本题考查平行六面体的体积、线面垂直与斜线射影。核心在于传统几何作高法、空间向量法（可选）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 如图，在平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，已知 $AB=5$，$AD=4$，$A{A}_1=3$，$AB\perp AD$，$\angle A_{1}AB=\angle A_{1}AD=\frac{\pi }{3}$.

(1) 求证：顶点 $A_1$ 在底面 $ABCD$ 的射影 $O$ 在 $\angle BAD$ 的平分线上；

(2) 求这个平行六面体的体积.

🔍【思路分析】

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1. 第（1）问思路： - 设 $A_{1}O\perp \text{平面 }ABCD$ 于 $O$。要证 $O$ 在 $\angle BAD$ 的平分线上，只需证明 $O$ 到 $AB$ 和 $AD$ 的距离相等。
   • 过 $O$ 分别作 $OM\perp AB$ 于 $M$，$ON\perp AD$ 于 $N$。利用三垂线定理逆定理，连接 $A_{1}M$ 和 $A_{1}N$，则必有 $A_{1}M\perp AB$，$A_{1}N\perp AD$。
   • 通过证明 $\text{Rt}△A_{1}AM\cong \text{Rt}△A_{1}AN$ 得到 $AM=AN$，进而证明 $\text{Rt}△OAM\cong \text{Rt}△OAN$，即可说明 $\angle MAO=\angle NAO$。
2. 第（2）问思路：
   • 平行六面体的体积 $V=S_{ABCD}\cdot h$，其中高 $h=A_{1}O$。
   • 已知 $AB\perp AD$，底面 $ABCD$ 是矩形，面积 $S_{ABCD}=AB\cdot AD=5\times 4=20$。
   • 在 $\text{Rt}△A_{1}AM$ 中求出 $AM$，在底面矩形中利用角平分线和垂直关系求出 $AO$ 的长，最后在 $\text{Rt}△A_{1}OA$ 中利用勾股定理求出高 $A_{1}O$。

✅【答案】

Success

$(1)$ 证明见解析

$(2)$ $30\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： 引高线：设顶点 $A_1$ 在底面 $ABCD$ 上的射影为 $O$，连接 $A_{1}O$，则 $A_{1}O\perp \text{平面 }ABCD$。 作辅助线：过 $O$ 作 $OM\perp AB$ 于 $M$，$ON\perp AD$ 于 $N$，连接 $A_{1}M,A_{1}N,AO$。

因为 $A_{1}O\perp \text{平面 }ABCD$，且 $OM\perp AB$， 由三垂线定理可知：$A_{1}M\perp AB$。 同理，因为 $ON\perp AD$，可得：$A_{1}N\perp AD$。

在 $\text{Rt}△A_{1}AM$ 与 $\text{Rt}△A_{1}AN$ 中： 斜边 $A_{1}A$ 为公共边，且已知 $\angle A_{1}AM=\angle A_{1}AN=\frac{\pi }{3}$， 所以 $\text{Rt}△A_{1}AM\cong \text{Rt}△A_{1}AN$ (AAS)。 由此可得： $AM=AN$

在底面平面 $ABCD$ 内，连接 $AO$。 由于 $AB\perp AD$（即 $\angle BAD=\frac{\pi }{2}$），四边形 $AMON$ 中有三个直角 ($\angle AMQ=\angle ANQ=\angle MAN=\frac{\pi }{2}$)， 因此四边形 $AMON$ 是矩形。 在矩形 $AMON$ 中，因为邻边 $AM=AN$，所以四边形 $AMON$ 实际上是一个正方形。 根据正方形的性质，对角线 $AO$ 必平分 $\angle MAN$（即 $\angle BAD$）。 故顶点 $A_1$ 在底面 $ABCD$ 的射影 $O$ 在 $\angle BAD$ 的平分线上。

（2）解：

1. 计算底面积： 因为 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是平行六面体，底面 $ABCD$ 为 parallelogram。 又已知 $AB=5$，$AD=4$，且 $AB\perp AD$，所以底面 $ABCD$ 是矩形。 底面积为： $S_{ABCD}=AB\cdot AD=5\times 4=20$

2. 计算平行六面体的高 $A_{1}O$： 在 $\text{Rt}△A_{1}AM$ 中， $\angle A_{1}AM=\frac{\pi }{3}$，$A{A}_1=3$： $AM=A{A}_1\cdot \cos \frac{\pi }{3}=3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

   由第（1）问可知，四边形 $AMON$ 是边长为 $\frac{3}{2}$ 的正方形，连接 $AO$，其长度为： $AO=\sqrt{A{M}^2+M{O}^2}=\sqrt{2}\cdot AM=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

   由于 $A_{1}O\perp \text{平面 }ABCD$，所以 $A_{1}O\perp AO$。 在 $\text{Rt}△A_{1}OA$ 中，根据勾股定理求高 $A_{1}O$： $A_{1}O=\sqrt{A{A}_1^2-A{O}^2}=\sqrt{3^2-{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{9-\frac{18}{4}}=\sqrt{9-\frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

3. 计算体积： $V=S_{ABCD}\cdot A_{1}O=20\times \frac{3\sqrt{2}}{2}=30\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 三垂线定理及逆定理的综合应用，斜多面体高线的求法，体积计算通式。
2. 核心方法： * 三垂定理引路法： 通过构建 $A_{1}M\perp AB$ 将空间线面垂直降维映射到平面直角三角形中，是解决线面射影位置的核心工具。
3. 避坑指南： * 第一问射影在角平分线上的推导中，很多同学在指出 $AM=AN$ 后，直接断言 $O$ 在角平分线上。必须结合底面 $AB\perp AD$ 这一特殊垂直条件证出四边形是正方形（或通过直角三角形全等 $OM=ON$ ），逻辑链条才算完整。
   • 计算 $AO$ 与 $A_{1}O$ 时注意根式的化简，不宜在勾股定理作差时将斜边和直角边搞反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于立体几何中关于斜棱柱/斜六面体度量的经典解答大题，重点考查空间“点线面”的位置关系向数量关系的转化，在现代高考中常作为**空间向量（利用基底或空间直角坐标系法）**进行多视角考查的典型母题。
2. 结论推广： 本题第一问存在一个极著名的立体几何通用射影定理（等角线射影定理）： 若空间中一条斜线 $l$ 与平面内两相交直线 $l_1,l_2$ 所成的角相等（即 $\angle (l,l_1)=\angle (l,l_2)$），则该斜线在平面内的正射影 $l^{\prime }$ 必然位于这两条相交直线夹角的平分线（或其邻补角平分线）所在直线上。本题即为该定理在具体参数下的完美具象化展示。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1991-三南-27 解-空间向量证线线垂直
• 1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角
• 1992-三南-25 解-线面垂直与线面平行