1989-全国卷理-14 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式，以及一元二次不等式。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 不等式 $|x^2-3x|>4$ 的解集是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等价转化去绝对值： 根据绝对值不等式的性质， $|f(x)|>a$ （其中 $a>0$）等价于 $f(x)>a$ 或 $f(x)<-a$。因此，原不等式可以转化为： $x^2-3x>4\text{或}{x}^2-3x<-4$
2. 分别求解二次不等式： - 移项整理得到两个标准的一元二次不等式；
   • 利用因式分解法分别求出这两个不等式的解集。
3. 求并集书写解集： 将两部分解集取并集，并严格按照集合的规范格式书写最终答案。

✅【答案】

Success

$(-\infty ,-1)\cup (4,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

根据绝对值不等式的同解变形法则，原不等式 $|x^2-3x|>4$ 等价于以下两个不等式分支（成“或”的关系）： $x^2-3x>4\text{(1)}$ $x^2-3x<-4\text{(2)}$

解不等式 ①： 移项得： $x^2-3x-4>0$ 十字相乘法因式分解： $(x-4)(x+1)>0$ 解得： $x>4\text{或}x<-1$

解不等式 ②： 移项得： $x^2-3x+4<0$ 计算该二次三项式的判别式： $\Delta =(-3{)}^2-4\times 1\times 4=9-16=-7<0$ 因为二次项系数 $1>0$ 且 $\Delta <0$，抛物线 $y=x^2-3x+4$ 整体位于 $x$ 轴上方， 所以不等式 ② 的解集为 $\varnothing$（无解）。

综合 ① 和 ② 的结果，取两部分解集的并集，最终不等式的解为 $x>4$ 或 $x<-1$。 题目要求书写形式为“解集”，故须用集合符号表示。

答案：$\left\{x|x>4\text{ 或 }x<-1\right\}$ （或 $(-\infty ,-1)\cup (4,+\infty )$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 绝对值不等式去绝对值符号的内在逻辑，一元二次不等式无解情况的判定。
2. 核心方法： * 等价化简法： 牢记 $|x|>a⟺x>a\text{ 或 }x<-a$ 的两极发散化简模型。
3. 避坑指南： * 格式错误： 注意题干要求写的是“解集”，必须用集合形式（或区间形式）表达，若只写 $x>4$ 或 $x<-1$ 会因不规范而扣分。
   • 逻辑连接词混淆： 去绝对值时两个分支是“或（$\cup$）”的关系，不宜错当成“且（$\cap$）”的关系去求公共部分。
   • 求解： 在面对分支 ② 时，若因粗心没有先算判别式 $\Delta$ 而直接去凑数因式分解，容易产生低级错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于高一数学代数基础运算的传统典型题，主要考查学生对绝对值几何意义与函数图象判定不等式边界值的基本功，源于教材对含绝对值不等式章节知识的直接呈现。
2. 结论推广： 对于任意形如 $|A{x}^2+Bx+C|>D$ ($D>0$) 的复合不等式，其求解体系是固定的：首先剥离外层绝对值化为 $A{x}^2+Bx+C-D>0$ 与 $A{x}^2+Bx+C+D<0$ 的并集。这类“分而治之”的解离思想，在高等数学处理带绝对值的极限控制语言（如 $\epsilon -\delta$ 邻域分析）时具有极其广泛的应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1994-上海-01 填-含绝对值不等式的求解
• 1992-三南-08 单-含绝对值的根式不等式
• 1991-全国文-18 填-对数不等式的求解