1989-全国卷理-10 单-双曲线的准线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 如果双曲线 $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$ 上一点 $P$ 到它的右焦点的距离是 8，那么点 $P$ 到它的右准线的距离是 ()

A. 10　　　　　　　　B. $\frac{32\sqrt{7}}{7}$　　　　　　　　C. $2\sqrt{7}$　　　　　　　　D. $\frac{32}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 读取基本参数： 从双曲线标准方程中直接读取 $a^2=64$ 和 $b^2=36$，利用关系式 $c^2=a^2+b^2$ 求出半焦距 $c$，进而计算出离心率 $e=\frac{c}{a}$。
2. 应用第二定义： 根据双曲线的第二定义，双曲线上的点 $P$ 到右焦点的距离 $|P{F}_2|$ 与点 $P$ 到右准线的距离 $d$ 的比值等于离心率 $e$，即 $\frac{|P{F}_2|}{d}=e$。
3. 代入求解： 已知 $|P{F}_2|=8$，由 $d=\frac{|P{F}_2|}{e}$ 即可直接算出点 $P$ 到右准线的距离。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由已知双曲线的标准方程 $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$ 可得： $a^2=64⟹a=8(a>0)$ $b^2=36⟹b=6(b>0)$

根据双曲线中基本量之间的平方关系： $c^2=a^2+b^2=64+36=100⟹c=10(c>0)$

因此，该双曲线的离心率为： $e=\frac{c}{a}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$

设点 $P$ 到右准线的距离为 $d$。 根据双曲线的第二定义可知，双曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率 $e$： $\frac{|P{F}_2|}{d}=e⟹d=\frac{|P{F}_2|}{e}$

已知点 $P$ 到右焦点的距离 $|P{F}_2|=8$，代入上式得： $d=\frac{8}{\frac{5}{4}}=8\times \frac{4}{5}=\frac{32}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 双曲线第二定义的直接应用（焦准比等于离心率）。
2. 核心方法： * 定义法： 牢记圆锥曲线的第二定义公式 $\frac{PF}{d}=e$，此公式在已知焦半径求准线距离（或反之）时能够免去求点 $P$ 的具体坐标，实现高效解题。
3. 避坑指南： * 错用曲线基本量关系。双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，而椭圆中 $c^2=a^2-b^2$，此处容易因粗心算错 $c$ 的值导致离心率错误。
   • 准线匹配混淆。第二定义中的焦点必须与对应方向的准线严格匹配（即“左焦点对左准线，右焦点对右准线”），本题给出的均为右侧度量，符合定义。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于解析几何中关于圆锥曲线统一定义的经典基础题。在现行高中教材中，第二定义多以课后阅读或选修内求出现，但在历年高考中，利用第二定义进行焦半径与几何距离之间的穿梭转化是解析几何小题的核心命题技巧。
2. 结论推广： 无论是椭圆（$0<e<1$）还是双曲线（$e>1$），若曲线上一点 $P$ 到某焦点的距离为 $r$，到同侧准线的距离为 $d$，则恒满足： $d=\frac{r}{e}$ 本题直接反映了该普适几何恒等式在双曲线模型下的数值映射。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1992-三南-17 单-双曲线的准线距离
• 1990-全国文-05 单-双曲线的准线方程
• 1990-广东文-04 单-双曲线的准线方程