1989-全国卷理-08 单-球的截面

本题导读

本题考查球的截面性质，以及空间两点间距离。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 已知球的两个平行截面的面积分别为 $5\pi$ 和 $8\pi$，它们位于球心的同一侧，且相距为 1，那么这个球的半径是 ()

A. 4　　　　　　　　　B. 3　　　　　　　　　C. 2　　　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求截面圆半径： 根据圆的面积公式 $S=\pi r^2$，分别求出两个平行截面圆的半径 $r_1$ 和 $r_2$。
2. 构建轴截面模型： 作出通过球心且垂直于这两个截面的大圆轴截面。设球的半径为 $R$，球心到面积为 $8\pi$ 的截面的距离（球心距）为 $d$。
3. 建立方程组： 因为两个截面位于球心的同一侧且相距为 1，所以球心到面积为 $5\pi$ 的截面的距离为 $d+1$。利用直角三角形中的勾股定理分别列出关于 $R$ 和 $d$ 的两个方程，联立求解。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设球的半径为 $R$，两个平行截面圆的半径分别为 $r_1$ 和 $r_2$。 由截面面积已知得： $\pi r_1^2=5\pi ⟹r_1^2=5$ $\pi r_2^2=8\pi ⟹r_2^2=8$

设球心到较近截面（面积为 $8\pi$，半径较大的截面）的距离为 $d$ ($d>0$)。 因为两个截面位于球心的同一侧，且两截面间的距离为 1， 所以球心到较远截面（面积为 $5\pi$，半径较小的截面）的距离为 $d+1$。

根据球的截面性质，球半径、截面圆半径、球心距构成直角三角形。由勾股定理可列方程组： $\{\begin{array}{ll}{R}^2=d^2+r_2^2& \text{(1)}\\ R^2=(d+1{)}^2+r_1^2& \text{(2)}\end{array}$

将 $r_1^2=5$ 和 $r_2^2=8$ 代入方程组中： $\{\begin{array}{ll}{R}^2=d^2+8& \text{(3)}\\ R^2=(d+1{)}^2+5& \text{(4)}\end{array}$

由 ③ $⟹$ ④ 得： $d^2+8=(d+1{)}^2+5$ 展开并化简： $d^2+8=d^2+2d+1+5$ $8=2d+6⟹2d=2⟹d=1$

将 $d=1$ 代入 ③ 式中： $R^2=1^2+8=9$ 因为 $R>0$，所以： $R=3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 球的性质中核心性质公式 $R^2=r^2+d^2$ 的应用。
2. 核心方法： * 空间问题平面化： 通过作球的轴截面，将空间截面与球心的相对位置完美转化为经典的平面几何图形进行处理。
3. 避坑指南： * 忽略关键条件“位于球心的同一侧”。若两截面位于球心异侧，则较远截面的球心距应表示为 $1-d$ 或结合大整体分析，会导致列式及计算错误。本题明确限定为“同一侧”，球心距应为 $d$ 与 $d+1$。
   • 误将截面面积直接当作半径代入公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于立体几何中关于球体性质考查的常考题型，源于教材中对“球的性质及其截面圆”这一知识点的深化，重点考查建立一元二次方程组消元化简的代数运算基本功。
2. 结论推广： 设球半径为 $R$，两平行截面的面积分别为 $S_1$ 和 $S_2$ ($S_1<S_2$)，截面间距为 $h$。
   • 若两截面在球心同侧，球半径满足通式： $R=\sqrt{{\left(\frac{S_2-S_1-\pi h^2}{2\pi h}\right)}^2+\frac{S_2}{\pi }}$
   • 若两截面在球心异侧，球半径满足通式： $R=\sqrt{{\left(\frac{S_2-S_1+\pi h^2}{2\pi h}\right)}^2+\frac{S_2}{\pi }}$ 本题代入同侧通式 $S_1=5\pi ,S_2=8\pi ,h=1$，括号内为 $\frac{8\pi -5\pi -\pi }{2\pi }=1$，故 $R=\sqrt{1^2+8}=3$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷文-13 单-球的截面与表面积
• 1992-全国文-05 单-圆柱与球的表面积比
• 1991-上海-03 填-圆柱与球的体积比