1989-全国卷理-05 单-等比数列与极限

本题导读

本题考查等比数列的性质，以及无穷递缩等比数列求和。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 已知 $\{a_n\}$ 是等比数列，如果 $a_1+a_2+a_3=18$，$a_2+a_3+a_4=-9$，且 $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$，那么 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$ 的值等于 ()

A. 8　　　　　　　　　B. 16　　　　　　　　　C. 32　　　　　　　　　D. 48

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求公比 $q$： 观察已知两式，后一个式子 $a_2+a_3+a_4$ 的每一项分别是前一个式子 $a_1+a_2+a_3$ 对应项的 $q$ 倍。因此可以通过整体提取公比 $q$，利用两式相除直接求出 $q$。
2. 求首项 $a_1$： 将求出的 $q$ 代入第一个式子中，化简得到关于 $a_1$ 的一元一次方程，解出 $a_1$。
3. 求和的极限： 观察到 $|q|<1$，该数列前 $n$ 项和的极限 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$ 即为无穷递缩等比数列的所有项之和，直接利用公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 计算。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公比为 $q$。

已知： $a_1+a_2+a_3=18\text{(1)}$ $a_2+a_3+a_4=-9\text{(2)}$

将 ② 式变形，提取公比 $q$ 可得： $q(a_1+a_2+a_3)=-9\text{(3)}$

将 ① 式代入 ③ 式中： $q\times 18=-9⟹q=-\frac{1}{2}$

将 $q=-\frac{1}{2}$ 代入 ① 式，用 $a_1$ 表示各项： $a_1+a_{1}q+a_1{q}^2=18$ $a_1\left[1+\left(-\frac{1}{2}\right)+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2\right]=18$ $a_1\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=18$ $a_1\times \frac{3}{4}=18⟹a_1=18\times \frac{4}{3}=24$

因为 $|q|=|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}<1$，所以当 $n\to \infty$ 时，$q^n\to 0$。 根据等比数列前 $n$ 项和公式及极限性质： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n={\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}$

代入 $a_1=24$ 和 $q=-\frac{1}{2}$ 得： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{24}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{24}{\frac{3}{2}}=24\times \frac{2}{3}=16$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 等比数列的片段和性质，无穷递缩等比数列求和公式。
2. 核心方法： * 整体结构法： 利用等比数列相邻等长片段成等比的性质（即 $S_3$ 与 $S_{4-1}$ 的错位相乘关系）直接提取 $q$，避免了将四项全部展开成基本量方程组的繁琐运算。
3. 避坑指南： * 分母符号错误。无穷项和公式的分母是 $1-q$，本题中 $q=-\frac{1}{2}$，带入后应变为 $1-(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$，容易因粗心算成 $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于将初等数列与极限工具结合的必修经典题，源于微积分中**级数收敛性（几何级数求和）**的初等数学下沉考查。
2. 结论推广： 对于任意等比数列 $\{a_n\}$，若已知前 $k$ 项和 $A=a_1+a_2+\cdots +a_k$，紧随其后的等长错位和 $B=a_2+a_3+\cdots +a_{k+1}$，则公比必然满足 $q=\frac{B}{A}$。若 $|B|<|A|$，则该数列必收敛，其无穷项总和的通用计算式可直接表达为： $S=\frac{A^2}{(A-B)(1-q^{k-1})}(\text{本题 }k=3\text{ 时即为特定具体值})$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-28 填-等比数列与数列极限
• 1991-上海-06 填-无穷等比数列奇项和
• 1992-三南-14 单-等比数列的运算