1989-全国卷理-02 单-相同图象的函数

本题导读

本题考查函数相等的判定，以及函数的定义域。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 与函数 $y=x$ 有相同图象的一个函数是 ()

A. $y=\sqrt{x^2}$　　　　　　　　　　　　　　B. $y=\frac{x^2}{x}$ C. $y=a^{{\log }_{a}x}$，其中 $a>0,a\ne 1$.　　　　D. $y={\log }_a{a}^x$，其中 $a>0,a\ne 1$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 函数图象相同，即两函数是同一函数，要求定义域相同且对应法则相同。
2. 基准函数 $y=x$ 的定义域为 $\mathbb{R}$。
3. 逐个求出各选项的定义域并化简，只有两要素都与基准函数一致的才是正确选项。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

基准函数 $y=x$ 的定义域为 $D_0=(-\infty ,+\infty )$。

• A 选项： $y=\sqrt{x^2}=|x|$，定义域为 $\mathbb{R}$。 定义域相同，但当 $x<0$ 时 $y=-x\ne x$，对应法则不同，故排除。

• B 选项： $y=\frac{x^2}{x}$，分母不能为 0，定义域为 $D_2=\{x\mid x\ne 0\}$。 与基准函数的定义域不同，故排除。

• C 选项： $y=a^{{\log }_{a}x}$，对数真数须大于 0，定义域为 $D_3=(0,+\infty )$。 与基准函数的定义域不同，故排除。

• D 选项： $y={\log }_a{a}^x$，真数 $a^x$ 恒正（$a>0$），对 $x$ 无限制，定义域为 $D_4=(-\infty ,+\infty )$。 由对数与指数的互逆性质： ${\log }_a{a}^x=x\cdot {\log }_{a}a=x$ 定义域与对应法则都与基准函数相同，故图象相同。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同一函数的判定，函数三要素（重点是定义域对图象的制约）。
2. 核心方法：定义域优先法。解决函数相等的题目，第一步先写定义域，可直接排除多数干扰项。
3. 避坑指南：
   • 化简前不看定义域，会误认为 $\sqrt{x^2}=x$、$\frac{x^2}{x}=x$、$a^{{\log }_{a}x}=x$，觉得四个选项都表示 $y=x$，无法判断。
   • $\sqrt{x^2}=|x|$ 的正负号容易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为函数概念理解的传统题型，考查定义域对函数图象的影响。
2. 结论推广：易混淆的同一函数变形还有：
   • $y=(\sqrt{x}{)}^2$（定义域为 $[0,+\infty )$）与 $y=\sqrt{x^2}$（定义域为 $\mathbb{R}$）不同。
   • $y=\ln x^2$（定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$）与 $y=2\ln x$（定义域为 $(0,+\infty )$）不同，正确化简应为 $2\ln |x|$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1991-上海-14 单-幂函数图象的识别
• 1992-上海-12 单-函数的单调性
• 1991-上海-01 填-指数函数的反函数