1989-上海-19 单-旋转体的体积比较

本题导读

本题考查直角三角形绕各边旋转所得体积的大小比较。

📌【题干】

Question

（1989年上海卷） 设直角 $△ABC$ 的直角边 $BC=a$，$AC=b$，斜边 $AB=c$，且 $a<b$，现分别以直线 $BC$，$AC$ 和 $AB$ 为轴将直角三角形绕轴旋转一周，所得的三个旋转体的体积分别记为 $V_1$，$V_2$ 和 $V_3$，那么 $V_1$，$V_2$ 和 $V_3$ 间的大小关系是()

A. $V_3>V_1>V_2$　　　　　B. $V_1>V_2>V_3$　　　　　C. $V_1>V_3>V_2$　　　　　D. $V_2>V_1>V_3$

🔍【思路分析】

破题导航

分别计算绕各边旋转所得体积并比较。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

绕 $BC$ 旋转得圆锥体积 $V_1=\frac{1}{3}\pi a{b}^2$（底半径 $b$，高 $a$）。绕 $AC$ 旋转得 $V_2=\frac{1}{3}\pi b{a}^2$。绕斜边 $AB$ 旋转得两个共底圆锥，$V_3=\frac{1}{3}\pi r^{2}c$，其中 $r=\frac{ab}{c}$，故 $V_3=\frac{\pi a^2{b}^2}{3c}$。因 $a<b$，$V_1>V_2$；又 $V_3=\frac{\pi a^2{b}^2}{3c}$，因 $c>b>a$，$V_3<V_2$。故 $V_1>V_2>V_3$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：旋转体的体积比较

核心方法：比较直角三角形绕各边旋转所得体积。

避坑指南：旋转体体积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：旋转体体积。

结论推广：V=πr²h/3。

方法推广：各轴旋转

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1991-上海-27 解-旋转体的体积与最值
• 1990-全国文-03 单-圆柱的体积与侧面积
• 1992-上海-24 解-圆锥的体积与二面角