1988-广东理-17 单-三角函数值的大小比较

本题导读

本题考查不同象限三角函数值的大小比较。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） 函数值 $\tan 224^{\circ }$，$\sin 136^{\circ }$，$\cos 310^{\circ }$ 的大小关系是()

A. $\tan 224^{\circ }<\sin 136^{\circ }<\cos 310^{\circ }$　　　B. $\sin 136^{\circ }<\cos 310^{\circ }<\tan 224^{\circ }$　　　C. $\cos 310^{\circ }<\tan 224^{\circ }<\sin 136^{\circ }$　　　D. $\cos 310^{\circ }<\sin 136^{\circ }<\tan 224^{\circ }$

🔍【思路分析】

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$\tan 224^{\circ }=\tan 44^{\circ }$，$\sin 136^{\circ }=\sin 44^{\circ }$，$\cos 310^{\circ }=\cos 50^{\circ }$，比较大小。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$\tan 224^{\circ }=\tan 44^{\circ }$，$\sin 136^{\circ }=\sin 44^{\circ }$，$\cos 310^{\circ }=\cos 50^{\circ }=\sin 40^{\circ }$。因 $44^{\circ }>40^{\circ }$，$\sin 44^{\circ }>\sin 40^{\circ }$，故 $\sin 136^{\circ }>\cos 310^{\circ }$；又 $\tan 44^{\circ }>\tan 40^{\circ }>\sin 40^{\circ }$，且 $\tan 44^{\circ }>\sin 44^{\circ }$（$\tan \theta >\sin \theta$ 当 $0<\theta <90^{\circ }$），故 $\tan 224^{\circ }>\sin 136^{\circ }$。所以 $\cos 310^{\circ }<\sin 136^{\circ }<\tan 224^{\circ }$。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数值的大小比较

核心方法：$\cos 310^{\circ }>0$，$\sin 136^{\circ }>0$，$\tan 224^{\circ }>0$，比较得 $\cos 310^{\circ }<\sin 136^{\circ }<\tan 224^{\circ }$。

避坑指南：$\tan 224^{\circ }=\tan 44^{\circ }>1$，$\sin 136^{\circ }=\sin 44^{\circ }<1$，$\cos 310^{\circ }=\cos 50^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1988 年广东卷理科第 17 题。广东卷当年单独命题，这类”三个函数值排顺序”的小题几乎每年一道，1985、1986、1989 三份广东卷都能找到同型题。

结论推广：三个值先各化到锐角：$\tan 224^{\circ }=\tan 44^{\circ }$、$\sin 136^{\circ }=\sin 44^{\circ }$、$\cos 310^{\circ }=\cos 50^{\circ }=\sin 40^{\circ }$。化完三个都正，只剩大小之分；而 $\tan 44^{\circ }>1>\sin 44^{\circ }>\sin 40^{\circ }$，顺序一次排定。$(0,\frac{\pi }{2})$ 内恒有 $\tan x>\sin x$，这一条可以直接当结论用。

方法推广：跨象限比大小的固定三步——先用诱导公式把每个角搬进 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，再定正负，最后在同一段单调区间上比。三步里最容易错的是第一步：$\tan$ 的周期是 $\pi$，$\sin$、$\cos$ 的是 $2\pi$，搬的时候别搬错圈数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1989-广东理-20 单-余弦值的大小比较
• 1989-广东理-04 单-诱导公式求值
• 1990-广东理-20 单-三角函数的最小正周期