1988-广东理-16 单-正切的和角公式

本题导读

本题考查正切的和角公式，通过拆角 $\alpha +\frac{\pi }{4}=(\alpha +\beta )-(\beta -\frac{\pi }{4})$ 求解。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） 如果 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{2}{5}$，$\tan \left(\beta -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{4}$，那么 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=$()

A. $\frac{13}{18}$　　　　　　　　B. $\frac{13}{22}$　　　　　　　　C. $\frac{3}{22}$　　　　　　　　D. $\frac{3}{18}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\alpha +\frac{\pi }{4}=(\alpha +\beta )-(\beta -\frac{\pi }{4})$，用差角公式。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$\tan (\alpha +\frac{\pi }{4})=\tan [(\alpha +\beta )-(\beta -\frac{\pi }{4})]=\frac{\tan (\alpha +\beta )-\tan (\beta -\frac{\pi }{4})}{1+\tan (\alpha +\beta )\tan (\beta -\frac{\pi }{4})}=\frac{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}{1+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}}=\frac{\frac{3}{20}}{\frac{22}{20}}=\frac{3}{22}$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正切的和角公式

核心方法：$\tan (\alpha +\frac{\pi }{4})=\tan [(\alpha +\beta )-(\beta -\frac{\pi }{4})]=\frac{2/5-1/4}{1+2/5\cdot 1/4}=\frac{3}{22}$。

避坑指南：拆角：$\alpha +\frac{\pi }{4}=(\alpha +\beta )-(\beta -\frac{\pi }{4})$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正切和角公式。

结论推广：拆角。

方法推广：符号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-21 单-正切的和角公式
• 1989-广东理-19 单-半角公式与正切
• 1989-广东理-20 单-余弦值的大小比较