1988-广东文-31 解-复数的模与辐角

本题导读

本题考查复数的模、辐角主值及复数方程。核心在于化 $z$ 为三角形式后求 $u=(\frac{4}{z}{)}^3$。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(文)） 设复数 $z=-\sqrt{6}+\sqrt{2}i$，记 $u={\left(\frac{4}{z}\right)}^3$.

(1)求 $|u|$ 和 $\arg u$ 的值；

(2)求实数 $x$ 和 $y$，使 $\frac{x}{z}+\frac{y}{u}=z+2u$.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）$|z|=2\sqrt{2}$，$z$ 辐角 $\frac{5\pi }{6}$，$u=2\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2})$；（2）代入 $u=-2\sqrt{2}i$，比较实虚部。

✅【答案】

Success

(1)$|u|=2\sqrt{2}$，$\arg u=\frac{3\pi }{2}$；(2)$x=8$，$y=-8$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$|z|=\sqrt{6+2}=2\sqrt{2}$，故 $|u|={\left(\frac{4}{2\sqrt{2}}\right)}^3=(\sqrt{2}{)}^3=2\sqrt{2}$。$z$ 对应点在第二象限，$\cos \theta =-\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，辐角主值 $\theta =\frac{5\pi }{6}$。故 $\frac{4}{z}=\sqrt{2}(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6})$，$u=(\frac{4}{z}{)}^3=2\sqrt{2}(\cos \frac{7\pi }{2}+i\sin \frac{7\pi }{2})=2\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2})$，即 $\arg u=\frac{3\pi }{2}$。 （2）$u=-2\sqrt{2}i$。$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{8}$，$\frac{1}{u}=\frac{i}{2\sqrt{2}}$。于是 $\frac{x}{z}+\frac{y}{u}=\left(-\frac{\sqrt{6}}{8}x\right)+\left(-\frac{\sqrt{2}}{8}x+\frac{y}{2\sqrt{2}}\right)i=z+2u=-\sqrt{6}-3\sqrt{2}i$。比较实虚部：$-\frac{\sqrt{6}}{8}x=-\sqrt{6}$ 得 $x=8$；$-\frac{\sqrt{2}}{8}x+\frac{y}{2\sqrt{2}}=-3\sqrt{2}$，即 $-\sqrt{2}+\frac{y}{2\sqrt{2}}=-3\sqrt{2}$，$y=-8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的模与辐角

核心方法：$|z|=2\sqrt{2}$，$|u|=(\frac{4}{|z|}{)}^3=2\sqrt{2}$；$z$ 辐角 $\frac{5\pi }{6}$，$u$ 辐角主值 $\frac{3\pi }{2}$；解方程组得 $x=8,y=-8$。

避坑指南：$\frac{4}{z}=\sqrt{2}(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6})$，三次方得 $2\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2})$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数模辐角。

结论推广：三角形式。

方法推广：辐角主值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1989-广东文-33 解-复数的运算与不等式
• 1990-广东理-16 单-复数的三角形式
• 1990-广东文-30 填-复数模的运算