1988-广东文-22 单-分式函数的最大值

本题导读

本题考查含余弦的分式函数的最大值。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(文)） 函数 $y=\frac{2+\cos x}{2-\cos x}$（$x\in \mathbf{R}$）的最大值是()

A. $\frac{5}{3}$　　　　　　　　　B. $\frac{5}{2}$　　　　　　　　　C. $3$　　　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

破题导航

令 $t=\cos x\in [-1,1]$，$y=\frac{2+t}{2-t}$，$t=1$ 时最大为 $3$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=\cos x\in [-1,1]$，$y=\frac{2+t}{2-t}=\frac{4-(2-t)}{2-t}=\frac{4}{2-t}-1$。$2-t\in [1,3]$，$y$ 随 $t$ 增大而增大，故 $t=1$ 时取最大值 $y=\frac{2+1}{2-1}=3$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式函数的最大值

核心方法：$y=\frac{2+\cos x}{2-\cos x}$，令 $t=\cos x\in [-1,1]$，$y=\frac{2+t}{2-t}$，最大值为 $3$。

避坑指南：$t=1$ 时 $y=3$ 最大。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式函数最值。

结论推广：换元 $t=\cos x$。

方法推广：端点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-08 单-三角函数式的值域
• 1990-广东文-23 单-三角函数的最小正周期
• 1989-广东理-24 单-对数的乘积最值