1988-广东文-15 单-棱台侧面与底面的二面角

本题导读

本题考查正三棱台侧面与底面所成二面角的大小。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(文)） 已知正三棱台上下底面的边长分别是 $3\text{cm}$ 和 $6\text{cm}$，斜高是 $\sqrt{3}\text{cm}$，那么侧面和底面所成的二面角等于()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　　　C. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　　　D. $\frac{5\pi }{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

上下底面边心距 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 与 $\sqrt{3}$，$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

下底面正三角形边长 $6$，边心距 $=\frac{\sqrt{3}}{6}\times 6=\sqrt{3}$；上底面边长 $3$，边心距 $=\frac{\sqrt{3}}{2}$。侧面等腰梯形的斜高 $\sqrt{3}$，二面角的平面角满足 $\cos \theta =\frac{\text{边心距差}}{\text{斜高}}=\frac{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，故 $\theta =\frac{\pi }{3}$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：棱台侧面与底面的二面角

核心方法：上下底边心距 $\sqrt{3}$ 与 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，二面角 $\frac{\pi }{3}$。

避坑指南：斜高、上下底边心距差构成直角三角形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱台二面角。

结论推广：射影三角形。

方法推广：斜高。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-29 填-三棱锥的高
• 1989-上海-04 填-正四棱锥的体积
• 1989-广东理-13 单-正三棱锥的全面积