1988-广东文-04 单-集合的包含关系

本题导读

本题考查两个三角值集合的包含关系。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(文)） 设集合 $P=\left\{x\mid x=\sin \frac{m\pi }{6},m=1,2,3,\cdots \right\}$，$Q=\left\{x\mid x=\sin \frac{n\pi }{12},n=1,2,3,\cdots \right\}$，那么，关于集合 $P$ 和 $Q$ 有()

A. $P\supset Q$　　　　　　　　B. $P\subset Q$　　　　　　　　C. $P=Q$　　　　　D. $P\cap Q=\varnothing$

🔍【思路分析】

破题导航

$\frac{m\pi }{6}=\frac{2m\pi }{12}$，故 $P$ 的元素都是 $Q$ 的元素。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$P$ 中元素 $\sin \frac{m\pi }{6}=\sin \frac{2m\pi }{12}$，取 $n=2m$ 即为 $Q$ 中元素，故 $P\subseteq Q$；而 $\sin \frac{\pi }{12}\in Q$ 但 $\frac{\pi }{12}$ 不是 $\frac{\pi }{6}$ 的整数倍对应的 $\sin$ 值可证 $\sin \frac{\pi }{12}\notin P$，故 $P\ne Q$。所以 $P\subset Q$。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的包含关系

核心方法：$P=\{\sin \frac{m\pi }{6}\}$，$Q=\{\sin \frac{n\pi }{12}\}$，因 $\frac{m\pi }{6}$ 可表为 $\frac{2m\pi }{12}$，故 $P\subset Q$。

避坑指南：注意 $\frac{\pi }{6}$ 的整数倍是 $\frac{\pi }{12}$ 的偶数倍。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合包含。

结论推广：元素特征。

方法推广：角度通式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1989-全国文-01 单-集合的补集与交集
• 1996-全国卷文-01 单-集合的交集与补集
• 1991-三南-05 单-集合的包含与并集