1988-全国卷理-24 解-反函数与图象对称

本题导读

本题考查反比例函数与分式函数、函数的单调性与单射性。核心在于反证法/代数证明法、求反函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 给定实数 $a$，且 $a\ne 0$，$a\ne 1$，设函数 $y=\frac{x-1}{ax-1}$（$x\in \mathbb{R}$，且 $x\ne \frac{1}{a}$）.证明：

(1) 经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于 $x$ 轴；

(2) 这个函数的图象关于直线 $y=x$ 成轴对称图形.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问思路： 直线平行于 $x$ 轴意味着直线上点的纵坐标相等。要证任意两不同点的连线不平行于 $x$ 轴，即证若 $x_1\ne x_2$，则必有 $y_1\ne y_2$。可采用反证法或直接作差法，证明当 $y_1=y_2$ 时必有 $x_1=x_2$。
2. 第（2）问思路： 函数图象关于 $y=x$ 对称的充要条件是：将原方程中的 $x$ 与 $y$ 互换后，所得方程与原方程相同（即该函数的反函数就是它本身）。因此，只需从原解析式中反解出 $x$，观察其表达形式是否与原函数结构一致。

✅【答案】

Success

$(1)$ 证明见解析

$(2)$ 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： 设 $P_1(x_1,y_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2)$ 是该函数图象上任意两个不同的点，则 $x_1\ne x_2$。 假设经过这两点的直线平行于 $x$ 轴，则必有 $y_1=y_2$。 根据函数解析式可得： $\frac{x_1-1}{a{x}_1-1}=\frac{x_2-1}{a{x}_2-1}$

两边去分母交叉相乘： $(x_1-1)(a{x}_2-1)=(x_2-1)(a{x}_1-1)$ 展开式子： $a{x}_1{x}_2-x_1-a{x}_2+1=a{x}_1{x}_2-x_2-a{x}_1+1$

消去公共项 $a{x}_1{x}_2$ 和 $1$，移项合并同类项得： $a{x}_1-x_1=a{x}_2-x_2$ $(a-1)x_1=(a-1)x_2$

因为已知 $a\ne 1$，所以 $a-1\ne 0$。两边同时除以 $(a-1)$ 得： $x_1=x_2$

这与已知条件 $P_1,P_2$ 是两个不同的点（即 $x_1\ne x_2$）相矛盾。 故假设不成立，即经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于 $x$ 轴。

（2）证明： 设 $P(x,y)$ 是原函数 $y=\frac{x-1}{ax-1}$ 图象上的任意一点。 根据反函数的求法，从原式中反解出 $x$： $y(ax-1)=x-1⟹axy-y=x-1$ 将含 $x$ 的项移到等号一边： $axy-x=y-1⟹x(ay-1)=y-1$

由第（1）问已知，若 $y=\frac{1}{a}$，代入原式得 $\frac{1}{a}=\frac{x-1}{ax-1}⟹x-1=x-\frac{1}{a}⟹1=\frac{1}{a}⟹a=1$，与已知 $a\ne 1$ 矛盾，故 $y\ne \frac{1}{a}$，即 $ay-1\ne 0$。 两边同除以 $ay-1$ 得： $x=\frac{y-1}{ay-1}$

若点 $P(x,y)$ 关于直线 $y=x$ 的对称点为 $P^{\prime }(y,x)$。 观察上式可知，把 $P^{\prime }$ 的横坐标 $y$ 与纵坐标 $x$ 代入原函数的对应结构中，等式成立。 也就是说，原函数对应的反函数仍然是 $y=\frac{x-1}{ax-1}$。 因为一个函数的反函数图象与其原函数图象关于直线 $y=x$ 对称，且本题中反函数与原函数解析式完全相同（定义域也完全一致，均为 $\ne \frac{1}{a}$），所以该函数的图象关于直线 $y=x$ 成轴对称图形。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 函数映射的单射性质（无相同因变量值）；函数图象关于 $y=x$ 对称的代数判定法。
2. 核心方法： * 互换元法： 证明图象关于 $y=x$ 对称，最严谨标准的方法就是由 $y=f(x)$ 拓扑反解出 $x=f(y)$。
3. 避坑指南： * 第（1）问若直接用导数证明单调性，需注意分式函数在 $x=\frac{1}{a}$ 处是不连续的，单调性在间断点两侧需分区间讨论，若直接说“在定义域内单调”属于概念错误，故用代数作差法或反证法最为稳妥。
   • 第（2）问反解出 $x$ 后，必须要说明分母 $ay-1\ne 0$（即 $y\ne \frac{1}{a}$）的理由，否则运算不严谨。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于高等数学中轴对称变换与初等函数逆映射性质的结合。这类分式函数在高等数学中被称为渐近线平行的双曲型分数线性变换（Mobius Transformation的特例）。
2. 结论推广： 对于更一般的 一般的分式函数 $f(x)=\frac{Ax+B}{Cx+D}$ ($C\ne 0,AD-BC\ne 0$)：
   • 只要 $AD-BC\ne 0$，其图象上任意两点的连线就绝不平行于坐标轴。
   • 该函数图象关于直线 $y=x$ 成轴对称图形（即自身关于 $y=x$ 对称）的充要条件是： $A=-D$ 本题中，解析式为 $y=\frac{1\cdot x-1}{a\cdot x-1}$，对应系数 $A=1,D=-1$，满足 $A=-D=1$，故其图象必然关于 $y=x$ 对称。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1991-全国文-09 单-分式函数的反函数
• 1994-上海-06 填-反函数的求法
• 1996-上海文-12 填-反函数的求法