1988-全国卷理-19 填-四棱锥中的角

本题导读

本题考查空间点线面位置关系，以及三垂线定理。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 如图，四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 $SB$ 垂直于底面，并且 $SB=\sqrt{3}$，用 $\alpha$ 表示 $\angle ASD$，求 $\sin \alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定垂直关系： 由 $SB\perp$ 平面 $ABCD$ 可知 $SB\perp AD$。又底面为正方形，有 $BA\perp AD$。
2. 证明线面与线线垂直： 结合 $SB\cap BA=B$，可证 $AD\perp$ 平面 $SAB$，从而得出 $AD\perp SA$。这一步也可以直接利用三垂线定理说明：$SA$ 是斜线，$BA$ 是它在底面上的射影，因 $AD\perp BA$，故 $AD\perp SA$。
3. 求出边长并计算： 确认 $△SAD$ 为直角三角形 ($\angle SAD=90^{\circ }$) 后，在 $\text{Rt}△SBA$ 中求出 $SA$ 的长。最后在 $\text{Rt}△SAD$ 中利用正弦或正切的定义直接求出 $\sin \alpha$。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $SB\perp$ 平面 $ABCD$，$BA\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $SB\perp BA$。 在 $\text{Rt}△SBA$ 中，由勾股定理得： $SA=\sqrt{S{B}^2+B{A}^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2$

因为 $SB\perp$ 平面 $ABCD$，且 $BA$ 是斜线 $SA$ 在底面 $ABCD$ 上的射影。 又底面 $ABCD$ 为正方形，所以 $AD\perp BA$。 由三垂线定理可知： $AD\perp SA$ 即 $△SAD$ 是以 $A$ 为直角顶点的直角三角形 ($\angle SAD=90^{\circ }$)。

在 $\text{Rt}△SAD$ 中，已知 $AD=1$，$SA=2$。 由勾股定理可求得斜边 $SD$ 的长： $SD=\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$

因此，根据直角三角形的三角函数定义： $\sin \alpha =\sin \angle ASD=\frac{AD}{SD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 三垂线定理的应用，空间垂直关系的证明，直角三角形中的边角计算。
2. 核心方法： * 三垂线定理法： 快速将底面的平面垂直关系升级为侧面的线线垂直关系（即 $BA\perp AD⟹SA\perp AD$）。
3. 避坑指南： * 套用非直角三角形的余弦定理。若没有先证明 $SA\perp AD$，而直接将 $\alpha$ 当作普通三角形的角去解（虽然计算 $SD$ 的长也能做），会丢失关键的证明步骤导致严重扣分。
   • 错把 $\angle SAB$ 当作 $\alpha$ 或者是二面角。必须严格按照题意锁定 $\alpha =\angle ASD$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是经典的“墙角”模型（即三条两两垂直的直线演变而来的四棱锥模型），属于立体几何中考查线面垂直与空间角计算的必修母题。
2. 结论推广： 设正方形底面边长为 $a$，侧棱 $SB=h$，则有： $SA=\sqrt{h^2+a^2},SD=\sqrt{h^2+2a^2}$ 由于 $\angle SAD=90^{\circ }$ 恒成立，因此其顶角 $\alpha$ 的正弦值通式为： $\sin \alpha =\frac{a}{\sqrt{h^2+2a^2}}$ 本题代入 $a=1,h=\sqrt{3}$，直接可得 $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3+2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角
• 1990-广东文-32 解-线面垂直与二面角
• 1991-上海-24 解-线面角与二面角的求法