1988-全国卷理-07 单-三角方程的解集

本题导读

本题考查一元二次方程的因式分解，以及三角方程（余弦方程）的通解。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 方程 $4{\cos }^{2}x-4\sqrt{3}\cos x+3=0$ 的解集是 ()

A. $\{x|x=k\pi +(-1{)}^k\cdot \frac{\pi }{6},k\in \mathbf{Z}\}$　　　　B. $\{x|x=k\pi +(-1{)}^k\cdot \frac{\pi }{3},k\in \mathbf{Z}\}$ C. $\{x|x=2k\pi \pm \frac{\pi }{6},k\in \mathbf{Z}\}$　　　　　　　　D. $\{x|x=2k\pi \pm \frac{\pi }{3},k\in \mathbf{Z}\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $t=\cos x$，方程化为 $4t^2-4\sqrt{3}t+3=0$，即 $(2t-\sqrt{3}{)}^2=0$。
2. 解得 $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$，在主值区间 $[0,\pi ]$ 内对应 $\frac{\pi }{6}$。
3. 由 $\cos x=\cos \alpha$ 的通解 $x=2k\pi \pm \alpha (k\in \mathbf{Z})$ 写出解集。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

$4{\cos }^{2}x-4\sqrt{3}\cos x+3=0\text{(1)}$

配方：$(2\cos x{)}^2=4{\cos }^{2}x$，$(\sqrt{3}{)}^2=3$，中间项 $2\times 2\cos x\times \sqrt{3}=4\sqrt{3}\cos x$，所以： $(2\cos x-\sqrt{3}{)}^2=0\text{(2)}$

开方： $2\cos x-\sqrt{3}=0⟹\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3)}$

因为 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$： $\cos x=\cos \frac{\pi }{6}\text{(4)}$

由余弦方程的通解公式 $x=2k\pi \pm \alpha (k\in \mathbf{Z})$： $\left\{x|x=2k\pi \pm \frac{\pi }{6},k\in \mathbf{Z}\right\}\text{⑤}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：完全平方配方、三角方程 $\cos x=a$ 的通解。
2. 核心方法：配方法、通解公式法。
3. 避坑指南：
   • 容易混淆正弦和余弦的通解而错选 A：$k\pi +(-1{)}^k\alpha$ 是正弦方程 $\sin x=a$ 的通解形式，余弦方程应配正负，即 $2k\pi \pm \alpha$。
   • $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 对应的余弦特殊角是 $\frac{\pi }{6}$（30°），不要与 $\frac{\pi }{3}$（60°）记混，避免错选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1988 年全国高考理科卷第 7 题，考查三角方程的求解。
2. 结论推广：对完全平方型三角方程 $(A\cos x-B{)}^2=0$，其解为 $\cos x=\frac{B}{A}$，即 $S=\left\{x|x=2k\pi \pm \arccos \left(\frac{B}{A}\right),k\in \mathbf{Z}\right\}$ 本题 $A=2,B=\sqrt{3}$，代入得 $x=2k\pi \pm \frac{\pi }{6}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-09 单-三角方程解的个数
• 1988-上海-07 填-三角函数的最小正周期