1988-全国卷理-06 单-三角函数的周期

本题导读

本题考查三角恒等变换，以及三角函数的最小正周期。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 函数 $y={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x$ 的最小正周期是 ()

A. $\pi$　　　　　　　　　　B. $2\pi$　　　　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　　　　D. $4\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x={\left({\cos }^{2}x\right)}^2-{\left({\sin }^{2}x\right)}^2$，用平方差公式展开。
2. 由 ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$、${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$ 化简。
3. 化简得 $y=\cos 2x$，由周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 求周期。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

$y={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x\text{(1)}$

用平方差公式： $y=\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)\text{(2)}$

由： ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1\text{(3)}$ ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x\text{(4)}$

代入 ②： $y=1\cdot \cos 2x=\cos 2x\text{⑤}$

即 $y=\cos \omega x$ 形式，其中： $\omega =2\text{⑥}$

最小正周期： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{2}=\pi \text{⑦}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平方差公式、余弦二倍角公式、三角函数的周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。
2. 核心方法：恒等变形化简法。
3. 避坑指南：
   • 不要根据最高次数推测周期：看到四次方不要直接猜周期，先化归为 $y=A\cos (\omega x+\phi )$ 再提取 $\omega$。
   • 正、余弦函数的周期公式是 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，正切函数是 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$，注意区分。本题 $\omega =2$，$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1988 年全国高考理科卷第 6 题，考查三角恒等变换与函数周期。
2. 结论推广：两组常用的四次恒等式：
   • ${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x=\cos 2x$，周期 $T=\pi$；
   • ${\cos }^{4}x+{\sin }^{4}x={\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4x$，周期 $T=\frac{\pi }{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-20 单-三角函数的最小正周期
• 1988-上海-07 填-三角函数的最小正周期
• 1991-上海-04 填-正弦函数的最小正周期