1988-全国卷理-05 单-二项式定理的指定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项式展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 在 $(x-\sqrt{3}{)}^{10}$ 的展开式中， $x^6$ 的系数是 ()

A. $-27{\mathrm{C}}_{10}^6$　　　　　　B. $27{\mathrm{C}}_{10}^4$　　　　　　C. $-9{\mathrm{C}}_{10}^6$　　　　　　D. $9{\mathrm{C}}_{10}^4$

🔍【思路分析】

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1. 调用二项式展开通项公式： 对于标准二项式 $(a+b{)}^n$，其展开式的通项公式为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 锁定目标项的指数约束： 将本题中 $a=x,b=-\sqrt{3},n=10$ 代入通项公式，令自变量 $x$ 的指数 $10-r=6$，从而反解出步长 $r=4$。
3. 系数化简与组合数转化： 计算常数项的偶数次幂，并利用组合数不变量对称性质 ${\mathrm{C}}_{10}^4={\mathrm{C}}_{10}^6$ 匹配对应的选项。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

根据二项式定理，二项式 $(x-\sqrt{3}{)}^{10}$ 展开式的第 $r+1$ 项通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_{10}^r\cdot x^{10-r}\cdot (-\sqrt{3}{)}^r\text{(1)}$

题目要求的是含有 $x^6$ 的项的系数。令自变量 $x$ 的指数项满足目标等式： $10-r=6⟹r=4\text{(2)}$

将 $r=4$ 代回通项控制方程 ① 中，求得该特定项的完备代数式： $T_{4+1}={\mathrm{C}}_{10}^4\cdot x^6\cdot (-\sqrt{3}{)}^4\text{(3)}$

对式 ③ 中的常数数值项执行幂方运算，注意负数的偶数次方变为正数： $(-\sqrt{3}{)}^4={\left[(-\sqrt{3}{)}^2\right]}^2=3^2=9\text{(4)}$

将项式 ④ 的结果合并提至多项式最前端，得到该项的显式结构： $T_5=9{\mathrm{C}}_{10}^4{x}^6\text{⑤}$

由此提取出 $x^6$ 的净系数为： $\text{系数}=9{\mathrm{C}}_{10}^4\text{⑥}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式通项公式 $T_{r+1}$ 的准确应用、含根号负数常数项的整幂运算。
2. 核心方法：通项公式法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易漏掉项式自带的负号，或对负号的幂次产生算术误判：很多同学一看到 $(-\sqrt{3}{)}^4$，容易粗心地将负号直接提到括号外算成 $-9$，从而错选了 C。必须牢记：负数的偶数次方恒为正数，奇数次方才为负数。
   • 注意区分“二项式系数”与“项的系数”： $x^6$ 的“二项式系数”仅仅是指组合数 ${\mathrm{C}}_{10}^4$ （或 ${\mathrm{C}}_{10}^6$ ）；而“项的系数”则必须无条件包含所有常数数值乘积的代数总和（即本题的 $9{\mathrm{C}}_{10}^4$ ）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1988 年全国高考理科卷第五题，属于考查二项式定理基础算理的标准客观题。其高等数学背景对应组合数学中生成函数（Generating function）在离散多项式环（Polynomial ring）空间上的泰勒展开系数矩阵核算。
2. 结论推广：对于通用的含根式减法二项式 $(x-\sqrt{A}{)}^n$ 的高阶展开系统：
   • 其含有 $x^m$ 项的完备系数 $W$ 严格受控于下列离散常数指数方程（其中 $n\ge m\ge 0$ ）： $W=(-1{)}^{n-m}\cdot A^{\frac{n-m}{2}}\cdot {\mathrm{C}}_n^{n-m}$
   • 当且仅当 $n-m$ 为偶数时，该项系数为无理根式消除后的正实数。 在本题特定的数值切片中（ $A=3,n=10,m=6⟹n-m=4$ ），代入该推广通式直接： $W=(-1{)}^4\cdot 3^{\frac{4}{2}}\cdot {\mathrm{C}}_{10}^4=1\times 3^2\cdot {\mathrm{C}}_{10}^4=9{\mathrm{C}}_{10}^4$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-27 填-多项式展开式的系数
• 1991-上海-08 填-二项式展开的常数项
• 1994-上海-08 填-二项式展开的指定项系数