1988-上海-26 解-异面直线与线面角

本题导读

本题考查正四面体中异面直线所成角与线面角。核心在于平移法求异面角、射影法求线面角。

📌【题干】

Question

（1988年上海卷） 在棱长都相等的四面体 $A-BCD$ 中，$E,F$ 分别为棱 $AD,BC$ 的中点，连接 $AF,CE$，如图所示.

(1)求异面直线 $AF,CE$ 所成角的大小；

(2)求 $CE$ 与底面 $BCD$ 所成角的大小（要求角的大小用反三角函数表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）平移 $AF$ 至 $GE$，用余弦定理；（2）作 $EK\perp$ 底面，射影法。

✅【答案】

Success

(1)$\arccos \frac{2}{3}$；(2)$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）连 $DF$，设 $G$ 为 $DF$ 中点，连 $GE$。因 $AE=ED$，$FG=GD$，故 $EG\parallel AF$，$\angle GEC$ 是异面直线 $AF$ 与 $CE$ 所成角。设棱长 $a$，则 $AF=CE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$EG=\frac{1}{2}AF=\frac{\sqrt{3}}{4}a$，$GC=\sqrt{F{C}^2+F{G}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}a$。由余弦定理 $\cos \angle GEC=\frac{E{G}^2+C{E}^2-G{C}^2}{2EG\cdot CE}=\frac{2}{3}$，故 $\angle GEC=\arccos \frac{2}{3}$。 （2）作 $EK\perp DF$ 于 $K$，连 $KC$。因 $AF\perp BC$，$DF\perp BC$，故 $BC\perp$ 平面 $ADF$，又 $BC\subset$ 平面 $BCD$，故平面 $ADF\perp$ 平面 $BCD$，$EK\perp$ 平面 $BCD$，$\angle KCE$ 是 $CE$ 与底面所成角。$EF=\sqrt{F{D}^2-E{D}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，$EK=\frac{EF\cdot ED}{FD}=\frac{\sqrt{6}}{6}a$，$\sin \angle KCE=\frac{EK}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，故 $\angle KCE=\arcsin \frac{\sqrt{2}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线与线面角

核心方法：正四面体中异面直线角与线面角。

避坑指南：平移法 + 射影法。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间角。

结论推广：平移法。

方法推广：射影法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1991-上海-24 解-线面角与二面角的求法
• 1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角
• 1992-三南-23 填-三棱锥的体积与二面角