1988-上海-11 单-二元方程表示的曲线

本题导读

本题考查二元方程所表示的曲线，因式分解判断。

📌【题干】

Question

（1988年上海卷） 方程 $x^4-y^4-4x^2+4y^2=0$ 所表示的曲线是()

A. 双曲线和一个圆　　　　　　　　　　　　　B. 两条相交直线 C. 两条平行直线和一个圆　　　　　　　　　　D. 两条相交直线和一个圆

🔍【思路分析】

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因式分解 $x^4-4x^2-(y^4-4y^2)=0$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$x^4-y^4-4x^2+4y^2=(x^4-4x^2)-(y^4-4y^2)=(x^2-2{)}^2-4-(y^2-2{)}^2+4=(x^2-y^2)(x^2+y^2-4)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2-4)=0$。故为两条相交直线 $x=y$、$x=-y$ 和一个圆 $x^2+y^2=4$。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二元方程表示的曲线

核心方法：$x^4-y^4-4x^2+4y^2=0$ 因式分解。

避坑指南：两条相交直线和一个圆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：曲线方程。

结论推广：因式分解。

方法推广：曲线识别。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 1991-三南-18 单-两曲线公共点个数
• 1993-上海-15 单-圆锥曲线的定义与轨迹
• 1996-上海文-05 单-椭圆旋转后的方程