1987-广东理-25 单-圆上的线性最值

本题导读

本题考查圆上的线性最值。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 若实数 $x$，$y$ 满足 $x^2+y^2-2x+4y=0$，则 $x-2y$ 的最大值是()

A. $\sqrt{5}$　　　　　　　　　B. $10$　　　　　　　　　C. $9$　　　　　　　　　D. $5+2\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

配方得 $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=5$，用柯西或几何法。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=5$，$x-2y=(x-1)-2(y+2)+5\le \sqrt{1+4}\cdot \sqrt{5}+5=5+5=10$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆上的线性最值

核心方法：$x^2+y^2-2x+4y=0$ 即 $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=5$，求 $x-2y$ 最大。

避坑指南：$x-2y=(x-1)-2(y+2)+5\le \sqrt{5}\cdot \sqrt{5}+5=10$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆上线性最值。

结论推广：参数方程或三角代换。

方法推广：柯西/几何法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-22 单-圆上点的最值
• 1990-全国文-19 填-圆上的最值问题
• 1990-广东文-25 单-圆上点的最值