本题导读
本题考查抛物线的代数参数化表示、两点间距离公式与中点坐标公式，用到设点法、均值不等式（或配方法）。
📌【题干】
Question
（1987年全国卷(理)） 定长为 的线段 的两端点在抛物线 上移动，记线段 的中点为 ，求点 到 轴的最短距离，并求此时点 的坐标.
🔍【思路分析】
破题导航
- 抛物线 ，设端点纵坐标：，。
- 中点 到 轴的距离为其横坐标 （抛物线在第一、四象限，）。
- 由定长 用两点间距离公式列等式。
- 令 （ 为中点纵坐标），把目标与约束都用 表达，化为单变量最值。
✅【答案】
Success
最短距离 ，此时 或
✍【详细解析】
Abstract
解：
设端点 、。 因为 在抛物线 上： 即 、。
设中点 ，由中点坐标公式：
点 到 轴的距离为 ，由 ② 知 ，所以求最短距离即求 的最小值。
由 ：
把 ① 代入： 用平方差公式： 提取 ：
由恒等式： 把 、 代入 ⑧：
把 ③、⑨ 代入 ⑦：
由于 是抛物线上两个不同点（重合则距离为 0，与定长 3 矛盾），，即 ，由 ⑨ 知 ；又 。 由 ⑪ 解出：
把右端第一项改写成含 的形式：
令 ，由 ： 于是：
由均值不等式（，）：
代入 ⑯：
取等条件与中点坐标：
均值不等式取等号当且仅当两项相等： 在 内，可以取到。
由 ：
此时：
所以点 到 轴的最短距离为 ，此时：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：抛物线的参数化设点、定长弦的中点坐标、用基本不等式或换元配方法求最值。
- 核心方法：纵坐标参数设点法、均值不等式法。
- 避坑指南：
- 不要设横坐标：若设 并消去 留 ，会因 的符号和带根号的距离公式使计算复杂。
- 用基本不等式后要校验取等时自变量是否在定义域内：求出 后，要对照 。若算出的 ，等号取不到，需改用对勾函数在 上的单调性求最值。本题 ，可以取等。
- 注意中点坐标的对称双解。 开方有正负两个值，漏掉任一个都会扣分。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题为 1987 年全国高考理科卷第 21 题（倒数第二题），考查定长弦中点的最值。
- 结论推广：定长线段在抛物线上滑动，求中点到准线（或对称轴）的最短距离，通常设端点纵坐标参数，用中点坐标公式与距离公式把目标量表示为单变量函数，再用均值不等式或配方法求最值。
🔗【关联脉络】
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