1987-全国卷理-17 解-三棱锥的体积

本题导读

本题考查三棱锥的体积公式、空间异面直线的公垂线，用到割补法、转化等积法。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 如图，三棱锥 $P-ABC$ 中，已知 $PA\perp BC$，$PA=BC=L$，$PA,BC$ 的公垂线 $ED=h$.求证：三棱锥 $P-ABC$ 的体积 $V=\frac{1}{6}{L}^{2}h$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 条件给出一对垂直异面直线 $PA$ 与 $BC$，长度都是 $L$，公垂线 $ED=h$，垂足 $E\in PA$，$D\in BC$。
2. 直接以 $△ABC$ 为底求高比较困难。由于 $ED$ 同时垂直于 $PA$ 与 $BC$，可考虑用包含 $BC$ 和 $ED$ 的截面 $△EBC$ 分割。
3. 三棱锥 $P-ABC$ 被截面 $△EBC$ 分成两部分：三棱锥 $P-EBC$ 和三棱锥 $A-EBC$。
4. 求出公共底面 $△EBC$ 的面积，两部分的高之和等于 $PA=L$，相加即得体积。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

证明：

因为 $ED$ 是异面直线 $PA$ 与 $BC$ 的公垂线，$E\in PA$，$D\in BC$， 所以： $ED\perp PA,\text{且}ED\perp BC\text{(1)}$

连接 $EB$、$EC$，作截面 $△EBC$，把三棱锥 $P-ABC$ 分成两个以 $△EBC$ 为公共底面的三棱锥：

• 三棱锥 $P-EBC$；
• 三棱锥 $A-EBC$。

所以： $V=V_{P-EBC}+V_{A-EBC}\text{(2)}$

1. 求公共底面 $△EBC$ 的面积： 在 $△EBC$ 中，以 $BC$ 为底，由 ① 知 $ED\perp BC$，所以 $ED$ 是 $BC$ 边上的高。 $S_{△EBC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot ED=\frac{1}{2}\cdot L\cdot h\text{(3)}$

2. 确定两个三棱锥的高： 已知 $PA\perp BC$，又 $PA\perp ED$，而 $BC$ 与 $ED$ 是平面 $EBC$ 内两条相交直线（交点为 $D$），由线面垂直判定定理： $PA\perp \text{平面}EBC\text{(4)}$

   因此：

   • 三棱锥 $P-EBC$ 以 $△EBC$ 为底时，高为 $PE$；
   • 三棱锥 $A-EBC$ 以 $△EBC$ 为底时，高为 $AE$。

3. 代入体积公式： $V_{P-EBC}=\frac{1}{3}\cdot S_{△EBC}\cdot PE=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}Lh\right)\cdot PE=\frac{1}{6}Lh\cdot PE\text{⑤}$ $V_{A-EBC}=\frac{1}{3}\cdot S_{△EBC}\cdot AE=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}Lh\right)\cdot AE=\frac{1}{6}Lh\cdot AE\text{⑥}$

   代入 ②： $V=\frac{1}{6}Lh\cdot PE+\frac{1}{6}Lh\cdot AE=\frac{1}{6}Lh\cdot (PE+AE)\text{⑦}$

   因为 $E$ 在线段 $PA$ 上： $PE+AE=PA=L\text{⑧}$

   代入 ⑦： $V=\frac{1}{6}Lh\cdot L=\frac{1}{6}{L}^{2}h\text{⑨}$

证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线公垂线的性质、线面垂直的判定定理、三棱锥体积分割（割补法）与等积转化。
2. 核心方法：割补法、转化等积法。
3. 避坑指南：
   • 不要硬找顶点到底面的高：若想直接求顶点 $P$ 到底面 $△ABC$ 的高，因缺少角度和对称条件，计算复杂。看到“公垂线”和“异面垂直”，应想到用公垂线所在的截面分割。
   • 证明中要写清 $PA\perp \text{平面}EBC$ 的条件：$PA\perp BC$ 且 $PA\perp ED$，且 $BC\cap ED=D$，漏写会扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1987 年全国高考理科卷第 17 题，考查三棱锥的体积与割补法。
2. 结论推广：对任意四面体，若一对相对棱的长分别为 $a$、$b$，夹角为 $\theta$，公垂线段长为 $d$，则体积 $V=\frac{1}{6}a\cdot b\cdot d\cdot \sin \theta$ 本题 $a=b=L$，$d=h$，$\theta =90^{\circ }$，代入得 $V=\frac{1}{6}\cdot L\cdot L\cdot h\cdot 1=\frac{1}{6}{L}^{2}h$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

1988-全国文-22 解-线面垂直与向量夹角 1989-全国文-21 解-平行六面体的射影与体积 1990-全国文-20 填-三棱柱的截面分体积