1987-全国卷理-16 解-三角恒等变换求值

本题导读

本题考查特殊角三角函数值、诱导公式（余角公式）。核心在于统一构造倍角消去法（分子分母同乘法）、积化和差法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 求 $\sin 10^{\circ }\sin 30^{\circ }\sin 50^{\circ }\sin 70^{\circ }$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取特殊角常数： 观察乘积序列， $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ 是已知的不变常数，可直接提取出来以简化剩余式子。
2. 正弦向余弦转化（诱导公式）： 利用余角公式 $\sin \theta =\cos (90^{\circ }-\theta )$，将非特殊角正弦序列 $\sin 10^{\circ }\sin 50^{\circ }\sin 70^{\circ }$ 转化为满足成倍增长递进关系的余弦序列 $\cos 80^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 20^{\circ }$。
3. 二倍角链式化简： 通过在分子与分母同时乘以 $\sin 20^{\circ }$，连续运用二倍角正弦公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 实现多米诺骨牌式的链式坍缩合并。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

解法一（统一构造倍角消去法）：

首先，将已知特殊角 $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ 直接作为标量常数提至最前方： $\sin 10^{\circ }\sin 30^{\circ }\sin 50^{\circ }\sin 70^{\circ }=\frac{1}{2}\sin 10^{\circ }\sin 50^{\circ }\sin 70^{\circ }\text{(1)}$

利用诱导公式中的余角不变量性质 $\sin \theta =\cos (90^{\circ }-\theta )$，对剩余的三项正弦项进行余弦化代换： $\sin 10^{\circ }=\cos (90^{\circ }-10^{\circ })=\cos 80^{\circ }\text{(2)}$ $\sin 50^{\circ }=\cos (90^{\circ }-50^{\circ })=\cos 40^{\circ }\text{(3)}$ $\sin 70^{\circ }=\cos (90^{\circ }-70^{\circ })=\cos 20^{\circ }\text{(4)}$

将式 ②、③、④ 代回式 ① 中，并利用乘法交换律调整各项的角序： $\sin 10^{\circ }\sin 30^{\circ }\sin 50^{\circ }\sin 70^{\circ }=\frac{1}{2}\cos 20^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ }\text{⑤}$

为了利用二倍角公式，在等式 ⑤ 的分子与分母端同时强行乘以最小角正弦算子 $\sin 20^{\circ }$： $\frac{1}{2}\cos 20^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin 20^{\circ }\cos 20^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}\text{⑥}$

应用二倍角正弦公式 $\sin 20^{\circ }\cos 20^{\circ }=\frac{1}{2}\sin 40^{\circ }$，对式 ⑥ 的分子项执行第一级链式合并： $\text{原式}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\frac{1}{2}\sin 40^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}=\frac{1}{4}\cdot \frac{\sin 40^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}\text{⑦}$

同理，应用 $\sin 40^{\circ }\cos 40^{\circ }=\frac{1}{2}\sin 80^{\circ }$，执行第二级链式合并： $\text{原式}=\frac{1}{4}\cdot \frac{\frac{1}{2}\sin 80^{\circ }\cos 80^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}=\frac{1}{8}\cdot \frac{\sin 80^{\circ }\cos 80^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}\text{⑧}$

进一步应用 $\sin 80^{\circ }\cos 80^{\circ }=\frac{1}{2}\sin 160^{\circ }$，执行第三级合并： $\text{原式}=\frac{1}{8}\cdot \frac{\frac{1}{2}\sin 160^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}=\frac{1}{16}\cdot \frac{\sin 160^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}\text{⑨}$

根据诱导公式的补角恒等性， $\sin 160^{\circ }=\sin (180^{\circ }-20^{\circ })=\sin 20^{\circ }$。 将此代入式 ⑨ 之中，消除分子与分母的共有三角变量项： $\text{原式}=\frac{1}{16}\cdot \frac{\sin 20^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}=\frac{1}{16}\text{⑩}$

解法二（积化和差法）：

首先提取特殊角，并对其中两项优先应用积化和差公式 $\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]$： $\sin 10^{\circ }\sin 50^{\circ }=-\frac{1}{2}[\cos 60^{\circ }-\cos (-40^{\circ })]=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\cos 40^{\circ }\right)=\frac{1}{2}\cos 40^{\circ }-\frac{1}{4}\text{⑪}$

将式 ⑪ 的结果乘以剩余的常数和 $\sin 70^{\circ }$（即 $\cos 20^{\circ }$）： $\text{原式}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cos 40^{\circ }-\frac{1}{4}\right)\cos 20^{\circ }=\frac{1}{4}\cos 40^{\circ }\cos 20^{\circ }-\frac{1}{8}\cos 20^{\circ }\text{⑫}$

对式 ⑫ 的前半部分再次应用积化和差公式 $\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]$： $\cos 40^{\circ }\cos 20^{\circ }=\frac{1}{2}(\cos 60^{\circ }+\cos 20^{\circ })=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\cos 20^{\circ }\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 20^{\circ }\text{⑬}$

将式 ⑬ 代回式 ⑫ 中展开消项： $\text{原式}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 20^{\circ }\right)-\frac{1}{8}\cos 20^{\circ }=\frac{1}{16}+\frac{1}{8}\cos 20^{\circ }-\frac{1}{8}\cos 20^{\circ }=\frac{1}{16}\text{⑭}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余角诱导公式的自变量变换、正弦二倍角逆向叠乘消去技术、积化和差。
2. 核心方法：统一构造倍角消去法。
3. 避坑指南：
   • 使用方法一时，切记不要一上来就去用积化和差强行拆分。先转换为余弦连乘积形式（即 $\cos 20^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ }$ ），此时每个角的度数恰好是前一个角的 2 倍，这种独特的级数倍增结构是发动“同乘 $\sin 20^{\circ }$”这一高效倍角消去链条的核心视觉信号。
   • 链式相乘时注意分子前方系数的累积：每执行一次倍角合并，系数都会自动乘以 $\frac{1}{2}$（ $\frac{1}{2}\to \frac{1}{4}\to \frac{1}{8}\to \frac{1}{16}$ ），不要漏记或算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1987 年全国高考理科卷第 16 题。其高等数学背景对应傅里叶分析（Fourier Analysis）中狄利克雷核（Dirichlet kernel）的乘积结构表示以及有限阶切比雪夫多项式在有理对称点处的完备代数分量分解。
2. 结论推广：在全域三角学中，存在下列两个关于非特殊角乘积不变量的广义齐次常数级数控制方程（其中 $n$ 决定了维数边界）： ${\prod }_{k=1}^n\cos \left(\frac{2^{k-1}\pi }{2^n\pm 1}\right)=\pm \frac{1}{2^n}$ 对于度数制的特殊奇数拆分系统，恒有下列标准推广恒等式成立： $\sin \theta \cdot \sin (60^{\circ }-\theta )\cdot \sin (60^{\circ }+\theta )\equiv \frac{1}{4}\sin 3\theta$ 在本题中，令 $\theta =10^{\circ }$，则可直接打包提取： $\sin 10^{\circ }\sin 50^{\circ }\sin 70^{\circ }=\frac{1}{4}\sin 30^{\circ }=\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$。 再次乘以独立的 $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$，直接输出不变量： $\frac{1}{8}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{16}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

1989-全国文-20 解-三角恒等式的证明 1990-全国文-22 解-和差化积与正切倍角 1988-全国文-21 解-三倍角公式证明