1987-全国卷理-10 填-双曲线的定义

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与定义，以及二次曲线的几何类型判定。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 已知方程 $\frac{x^2}{2+\lambda }-\frac{y^2}{1+\lambda }=1$ 表示双曲线，求 $\lambda$ 的范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 审视方程的标准拓扑结构： 已知方程形式为 $\frac{x^2}{M}-\frac{y^2}{N}=1$。
   • 若该方程表示椭圆，需要满足 $M>0,N<0$（使 $-N>0$ 满足加号标准方程）；
   • 若该方程表示双曲线，根据双曲线的根本几何特征， $x^2$ 项与 $y^2$ 项的前方系数符号必须严格相反（一正一负）。
2. 分类锁定符号约束： 注意题目中 $y^2$ 项前方自带负号：
   • 形式一：焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，要求分母项同时为正，即 $2+\lambda >0$ 且 $1+\lambda >0$；
   • 形式二：焦点在 $y$ 轴上的双曲线 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1⟹\frac{x^2}{-b^2}-\frac{y^2}{-a^2}=1$，要求分母项同时为负，即 $2+\lambda <0$ 且 $1+\lambda <0$。
3. 等价合成不等式组并求解： 结合上述两种完全解耦的形式，其统一的充要代数不变量为两分母项的乘积严格大于零，即 $(2+\lambda )(1+\lambda )>0$，直接解出参数范围。

✅【答案】

Success

$\lambda <-2$ 或 $\lambda >-1$

✍【详细解析】

Abstract

解：

已知关于 $x,y$ 的二次曲线方程为： $\frac{x^2}{2+\lambda }-\frac{y^2}{1+\lambda }=1\text{(1)}$

根据双曲线的标准方程性质，要使形如 $\frac{x^2}{M}-\frac{y^2}{N}=1$ 的方程在实数域内确定一条双曲线，必须满足 $x^2$ 项与 $y^2$ 项的代数符号相异。 由于方程 ① 中 $y^2$ 项前已经带有负号，因此该方程表示双曲线的充要条件是分母项 $2+\lambda$ 与 $1+\lambda$ 必须保持同号（同时为正数或同时为负数）。

由此，构建一元二次因式不等式： $(2+\lambda )(1+\lambda )>0\text{(2)}$

对于不等式 ②，其对应两零点根分别为 ${\lambda }_1=-2,{\lambda }_2=-1$。 根据“大于取两边，小于取中间”的一元二次不等式经典求解法则，式 ② 的解集分布在两外侧： $\lambda >-1\text{或}\lambda <-2\text{(3)}$

另解（分类讨论法）：

方程 ① 表示双曲线，包含以下两种完全对立的焦点结构：

• 情况甲：焦点在 $x$ 轴上 此时标准方程满足 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，要求两分母项严格正定： $\{\begin{array}{l}2+\lambda >0\\ 1+\lambda >0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\lambda >-2\\ \lambda >-1\end{array}⟹\lambda >-1\text{(4)}$

• 情况乙：焦点在 $y$ 轴上 此时标准方程满足 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1⟹\frac{x^2}{-b^2}-\frac{y^2}{-a^2}=1$，要求两分母项严格负定： $\{\begin{array}{l}2+\lambda <0\\ 1+\lambda <0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\lambda <-2\\ \lambda <-1\end{array}⟹\lambda <-2\text{⑤}$

将式 ④ 与式 ⑤ 的独立分支区间并集聚合，即得参数 $\lambda$ 的完备取值范围。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线标准方程分母项的符号判定、一元二次不等式组的代数运算。
2. 核心方法：结构因式正负号判定法、等价转化法。
3. 避坑指南：
   • 容易漏掉焦点在 $y$ 轴上的负数分支而导致丢解：很多同学一看到双曲线，潜意识里只记得 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 这一种形式，认为分母必须全部大于 0，从而只算出了 $\lambda >-1$。必须切记，只要 $x^2$ 与 $y^2$ 前方的净系数一正一负即可，当两分母同为负数时，原式通过负号转移等价于 $\frac{y^2}{|1+\lambda |}-\frac{x^2}{|2+\lambda |}=1$，依然是一条标准的纵轴双曲线。
   • 注意不等式中边界点 $-1$ 与 $-2$ 的开闭状态。由于双曲线分母不能为 0（否则退化为直线或无意义），故必须使用严格的绝对不等号，不能带等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高中数学教材《圆锥曲线的方程》章节中关于曲线参数范围判定的典型综合填空题。其高等数学背景为仿射解析几何中通过二次齐次型矩阵的行列式不变量（Invariant of determinant）对二次曲线拓扑亏格（Genus）进行惯性指数（Inertia index）分类判定。
2. 结论推广：对于通用的含参二次曲线系统 $\frac{x^2}{A-\lambda }+\frac{y^2}{B-\lambda }=1$（设 $A>B$）：
   • 当 $\lambda <B$ 时，两分母同为正，系统表现为椭圆结构；
   • 当 $B<\lambda <A$ 时，两分母异号，系统表现为焦点在 $x$ 轴上的双曲线结构；
   • 当 $\lambda >A$ 时，两分母同为负，系统在实数空间内无轨迹（虚椭圆）；
   • 当 $\lambda =A$ 或 $\lambda =B$ 时，系统发生退化沦为平行直线或奇点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

1988-全国文-23 解-双曲线上的点与距离 1989-全国文-10 单-双曲线的焦半径与准线 1990-全国文-05 单-双曲线的准线方程