1987-全国卷理-03 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值的代数性质，以及不等式的比较方法（平方法）。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 设 $a,b$ 是满足 $ab<0$ 的实数，那么 ()

A. $|a+b|>|a-b|$　　　　　　　　　　　　B. $|a+b|<|a-b|$ C. $|a-b|<||a|-|b||$　　　　　　　　　　D. $|a-b|<|a|+|b|$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定核心已知条件： 已知 $ab<0$，说明 $a$ 与 $b$ 异号（一正一负）。
2. 比较 A、B 选项（平方法）： 因为等式两端均为非负数，可以同时平方。比较 $|a+b{|}^2$ 与 $|a-b{|}^2$ 的代数式展开，通过 $ab$ 的正负号锁定两者的确切大小关系。
3. 校验 C、D 选项（三角不等式定理）： 根据实数绝对值三角不等式基本定理，对于任意实数恒有 $|a-b|\le |a|+|b|$，当且仅当 $ab\le 0$ 时取等号。结合题干条件可直接判定其准确性。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

因为 $|a+b|$ 与 $|a-b|$ 均为非负实数，所以可以通过比较它们的平方大小来判定原式的大小关系。 分别计算两者的平方展开式： $|a+b{|}^2=(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\text{(1)}$ $|a-b{|}^2=(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2\text{(2)}$

用式 ① 减去式 ② 得到它们的代数差值： $|a+b{|}^2-|a-b{|}^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab\text{(3)}$

因为已知条件给定 $ab<0$，将该符号不变量代入式 ③： $4ab<0⟹|a+b{|}^2-|a-b{|}^2<0\text{(4)}$ $|a+b{|}^2<|a-b{|}^2\text{⑤}$

因为平方根函数在非负实数域内单调递增，对式 ⑤ 两端开算术平方根保持不等号方向不变： $|a+b|<|a-b|\text{⑥}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值平方性质 $|x{|}^2=x^2$、利用作差平方法比较含有绝对值的代数式大小。
2. 核心方法：两端平方法。
3. 避坑指南：
   • 特值排除法虽然快（如取 $a=1,b=-2$，则 $|a+b|=1$, $|a-b|=3$，直接排除 A、C、D 锁定 B），但在严格解答题中需要使用平方法进行全面推导。
   • 注意 D 选项中三角不等式的取等条件。当 $a,b$ 异号时， $|a-b|$ 恰好等于 $|a|+|b|$，不能误选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于初高中有理数绝对值性质的对比应用。其高等数学背景为赋范线性空间（Normed Linear Space）中内积（Inner Product）与诱导范数（Norm）的平行四边形恒等式与余弦定理度规表现。
2. 结论推广：在任意实内积空间中，两个向量 $x,y$ 的范数满足： $\Vert x+y\Vert <\Vert x-y\Vert ⟺⟨x,y⟩<0$ 该结论在任意有限维或无限维的希尔伯特空间中均完全等价适用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

1989-全国文-14 填-绝对值不等式的求解 1989-全国文-17 填-指数与对数不等式 1990-全国文-24 解-含参对数不等式