1986-广东理-39 解-椭圆上关于直线的对称点

本题导读

本题考查椭圆上两点关于直线的对称问题，核心在于中点与垂直条件的联立。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 已知椭圆 $C$ 的直角坐标方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，试确定 $m$ 的取值范围，使得对于直线 $y=4x+m$，椭圆 $C$ 上有不同的两点关于该直线对称.

🔍【思路分析】

破题导航

两点关于 $y=4x+m$ 对称，其连线斜率为 $-\frac{1}{4}$，设 $y=-\frac{x}{4}+n$ 与椭圆交于两点，中点在对称轴上。

✅【答案】

Success

$m\in \left(-\frac{2\sqrt{13}}{13},\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

设对称两点连线 $y=-\frac{x}{4}+n$，与椭圆交于 $P,Q$。联立 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 与 $y=-\frac{x}{4}+n$：$\frac{x^2}{4}+\frac{(-\frac{x}{4}+n{)}^2}{3}=1$，得 $13x^2-8nx+16n^2-48=0$。判别式 $>0$：$64n^2-52(16n^2-48)>0$，$n^2<\frac{13}{4}$，$-\frac{\sqrt{13}}{2}<n<\frac{\sqrt{13}}{2}$。 由韦达定理 $x_1+x_2=\frac{8n}{13}$，$y_1+y_2=-\frac{1}{4}(x_1+x_2)+2n=\frac{24n}{13}$。中点 $(\frac{4n}{13},\frac{12n}{13})$ 在 $y=4x+m$ 上：$\frac{12n}{13}=4\cdot \frac{4n}{13}+m$，$m=-\frac{4n}{13}$。故 $m\in (-\frac{2\sqrt{13}}{13},\frac{2\sqrt{13}}{13})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆上关于直线的对称点

核心方法：两点关于 $y=4x+m$ 对称，联立 $y=-\frac{x}{4}+n$ 与椭圆。

避坑指南：$m\in (-\frac{2\sqrt{13}}{13},\frac{2\sqrt{13}}{13})$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对称点。

结论推广：中点与垂直。

方法推广：韦达定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1987-上海-27 解-椭圆的焦半径与距离
• 1992-三南-07 单-椭圆的极坐标方程