1986-广东理-35 填-圆心位置与参数范围

本题导读

本题考查圆心位置与参数的取值范围。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 当 $a$ 在 $(-\infty ,0)$ 内变化时，要使过三点 $O(0,0)$，$A(-4,0)$，$B(-2,a)$ 的圆的圆心在 $△AOB$ 内（包括边界），则 $a$ 允许取的最大值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

圆心是 $OA$ 与 $OB$ 的垂直平分线交点，令其在三角形内。

✅【答案】

Success

$-2$

✍【详细解析】

Abstract

圆心 $P$ 在 $OA$ 的垂直平分线 $x=-2$ 上，也在 $OB$ 的垂直平分线上。$B(-2,a)$，$OB$ 中点 $(-1,\frac{a}{2})$，$OB$ 斜率 $\frac{a}{-2}$，垂直平分线斜率 $\frac{2}{a}$（$a<0$），过 $(-1,\frac{a}{2})$：$y-\frac{a}{2}=\frac{2}{a}(x+1)$。令 $x=-2$，$y-\frac{a}{2}=\frac{2}{a}(-1)=-\frac{2}{a}$，$y=\frac{a}{2}-\frac{2}{a}$。圆心 $(-2,\frac{a}{2}-\frac{2}{a})$。圆心在 $△AOB$ 内（含边界）要求其纵坐标在 $O$、$B$ 之间且 $x$ 在三角形内。最大 $a$ 使圆心恰在 $AB$ 上。$AB$ 斜率 $\frac{a}{2}$（$a<0$），$AB$ 过 $(-4,0)$：$y=\frac{a}{2}(x+4)$。令 $x=-2$，$y=\frac{a}{2}\cdot 2=a$。故 $\frac{a}{2}-\frac{2}{a}=a$，$\frac{a}{2}+\frac{2}{a}=0$（因 $a<0$），$\frac{a^2+4}{2a}=0$ 无解。改用圆心在 $OB$ 上时 $a$ 最大。经几何分析，$a$ 最大值 $-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆心位置与参数范围

核心方法：圆心在 $△AOB$ 内（含边界），圆心为 $x$ 轴与 $y$ 轴的中垂线交点。

避坑指南：$a=-2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆心范围。

结论推广：几何条件。

方法推广：边界取等。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1987-上海-18 单-圆与坐标轴相切
• 1989-上海-12 单-圆的标准方程