1986-广东理-02 单-两角差的正切

本题导读

本题考查两角差的正切公式。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 设 $\alpha$，$\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$ 且 $\tan \alpha =\frac{4}{3}$，$\tan \beta =\frac{1}{7}$，则 $\alpha -\beta =$()

A. $\frac{\pi }{3}$　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　C. $\frac{\pi }{6}$　　　　　D. $\frac{\pi }{8}$　　　　　E. $-\frac{\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\frac{4}{3}-\frac{1}{7}}{1+\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{7}}=\frac{\frac{28-3}{21}}{1+\frac{4}{21}}=\frac{25/21}{25/21}=1$。因 $\alpha ,\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$，$\alpha -\beta \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$，$\tan =1$ 得 $\alpha -\beta =\frac{\pi }{4}$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角差的正切

核心方法：$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }=\frac{\frac{4}{3}-\frac{1}{7}}{1+\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{7}}=1$。

避坑指南：$\alpha -\beta =\frac{\pi }{4}$，选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：差角正切。

结论推广：$\tan (\alpha -\beta )$ 公式。

方法推广：先求两角正切。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-11 填-两角和差余弦
• 2014-新课标Ⅰ理-08 单-和差角公式