1986-广东文-39 解-椭圆的焦点弦

本题导读

本题考查椭圆与直线相交中的焦点弦问题。核心在于把弦长比转化为坐标关系并联立韦达定理。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 已知椭圆 $C$ 的直角坐标方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$.若过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 两点（其中 $y_1>y_2$）且满足 $\frac{|AF|}{|BF|}=2$，试求直线 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $y=k(x-1)$，$|AF|=2|BF|$ 结合 $y_1>y_2$ 化为 $x_1+2x_2=3$，联立韦达定理。

✅【答案】

Success

$y=-\frac{\sqrt{5}}{2}(x-1)$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆右焦点为 $F(1,0)$。设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-1)$，则交点坐标满足 $y=k(x-1)$ 与 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。将直线方程代入椭圆方程，得 $(3+4k^2)x^2-8k^{2}x+4k^2-12=0$。根据韦达定理，$x_1+x_2=\frac{8k^2}{3+4k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{4k^2-12}{3+4k^2}$。由条件 $\frac{|AF|}{|BF|}=2$，可得 $1-x_1=2(x_2-1)$，即 $x_1=-2x_2+3$。联立上式得 $x_2=\frac{9+4k^2}{3+4k^2}$，$x_1=\frac{4k^2-9}{3+4k^2}$。代入乘积关系式，得 $k^2=\frac{5}{4}$，所以 $k=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$。由于 $x_1<x_2$ 且 $y_1>y_2$，故 $k<0$。因此 $l$：$y=-\frac{\sqrt{5}}{2}(x-1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的焦点弦

核心方法：设 $y=k(x-1)$，$|AF|=2|BF|\Rightarrow x_1+2x_2=3$。

避坑指南：联立韦达定理得 $k^2=\frac{5}{4}$，$k<0$，$y=-\frac{\sqrt{5}}{2}(x-1)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1990 广东文第 33 题同考椭圆与直线。

结论推广：$|AF|=\lambda |BF|$ 转化为坐标关系 $1-x_1=\lambda (x_2-1)$。

方法推广：韦达定理 + 焦点弦长比是椭圆综合题的通用套路。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-39 解-椭圆上关于直线的对称点
• 1990-广东文-33 解-椭圆的方程与焦点